Математический анализ Примеры

$\int_{3}^{5} 3 x^{2} + 2 x - 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{3}^{5} 3 x^{2} d x + \int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{3}^{5} x^{2} d x + \int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + 2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + - x]_{3}^{5}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $3$ .

$3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{3^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + - x]_{3}^{5}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $3$ .

$3 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{3^{3}}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - x]_{3}^{5}$

Этап 9.3

Найдем значение $- x$ в $5$ и в $3$ .

$3 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{3^{3}}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$3 (\frac{125}{3} - \frac{3^{3}}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 (\frac{125}{3} - \frac{27}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 9}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 9}{3 (1)}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{125}{3} - \frac{9}{1}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$3 (\frac{125}{3} - 1 \cdot 9) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$3 (\frac{125}{3} - 9) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.5

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{125}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.6

Объединим $- 9$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{125}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{125 - 9 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.1

Умножим $- 9$ на $3$ .

$3 \frac{125 - 27}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.8.2

Вычтем $27$ из $125$ .

$3 (\frac{98}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.9

Объединим $3$ и $\frac{98}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 98}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.10

Умножим $3$ на $98$ .

$\frac{294}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.11

Сократим общий множитель $294$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.11.1

Вынесем множитель $3$ из $294$ .

$\frac{3 \cdot 98}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 98}{3 (1)} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{98}{1} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.11.2.4

Разделим $98$ на $1$ .

$98 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.12

Возведем $5$ в степень $2$ .

$98 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$98 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$98 + 2 \frac{25 - 9}{2} + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.15

Вычтем $9$ из $25$ .

$98 + 2 (\frac{16}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.16

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.16.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$98 + 2 \frac{2 \cdot 8}{2} + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$98 + 2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.16.2.2

Сократим общий множитель.

$98 + 2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.16.2.3

Перепишем это выражение.

$98 + 2 (\frac{8}{1}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.16.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$98 + 2 \cdot 8 + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.17

Умножим $2$ на $8$ .

$98 + 16 + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.18

Добавим $98$ и $16$ .

$114 + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.19

Умножим $- 1$ на $5$ .

$114 - 5 + 1 \cdot 3$

Этап 9.4.20

Умножим $3$ на $1$ .

$114 - 5 + 3$

Этап 9.4.21

Добавим $- 5$ и $3$ .

$114 - 2$

Этап 9.4.22

Вычтем $2$ из $114$ .

$112$

Этап 10

Введите СВОЮ задачу