선형 대수 예제

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 1

내적을 구합니다.

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단계 1.1

두 벡터의 내적은 각 성분을 곱하여 합한 값입니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

단계 1.2.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

단계 1.2.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

단계 1.2.2

$2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

단계 1.2.3

$8$ 를 $2$ 에 더합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

단계 2

$b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ 의 놈(Norm)을 구합니다.

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단계 2.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

단계 2.2.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

단계 2.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

단계 2.2.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

단계 2.2.5

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

단계 3

투사 공식을 사용하여 $b⃗$ 에 대한 $a⃗$ 투사를 구합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

단계 4

$a⃗ \cdot b⃗$ 에 $10$ 를 대입합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

단계 5

$| | b⃗ | |$ 에 $\sqrt{6}$ 를 대입합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

단계 6

$b⃗$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.1

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.4.1

공약수로 약분합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.1.5

지수값을 계산합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.2

$10$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

단계 7.3

행렬의 각 원소에 $\frac{5}{3}$ 을 곱합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 7.4

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$\frac{5}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 7.4.2

$\frac{5}{3} \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

$\frac{5}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 7.4.2.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 7.4.3

$\frac{5}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

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