선형 대수 예제

$x + y + 4 z = 2$ , $x + 2 y - 4 z = 1$ , $3 x + 8 y + k z = 2$

Step 1

연립방정식을 행렬 형태로 씁니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

Step 2

Find the reduced row echelon form.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

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행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 2 & (- 1) \cdot (4) - 4 & (- 1) \cdot (2) + 1 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{3} & - 3 \cdot R_{1} + R_{3} & - 3 \cdot R_{1} + R_{3} & - 3 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (1) + 8 & (- 3) \cdot (4) + k & (- 3) \cdot (2) + 2 \end{array}]$

$R_{3} = - 3 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- 8) + 4 & (- 1) \cdot (- 1) + 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} & - 5 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ (- 5) \cdot (0) + 0 & (- 5) \cdot (1) + 5 & (- 5) \cdot (- 8) + k - 12 & (- 5) \cdot (- 1) - 4 \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & k + 28 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3} & \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3} & \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3} & \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3}$

행연산 $R_{3} = \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ (\frac{1}{k + 28}) \cdot (0) & (\frac{1}{k + 28}) \cdot (0) & (\frac{1}{k + 28}) \cdot (k + 28) & (\frac{1}{k + 28}) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{k + 28} \cdot R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - 12 \cdot R_{3} + R_{1} & - 12 \cdot R_{3} + R_{1} & - 12 \cdot R_{3} + R_{1} & - 12 \cdot R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

$R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- 12) \cdot (0) + 1 & (- 12) \cdot (0) + 0 & (- 12) \cdot (1) + 12 & (- 12) \cdot (\frac{1}{k + 28}) + 3 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

$R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3 (k + 24)}{k + 28} \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = 8 \cdot R_{3} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = 8 \cdot R_{3} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3 (k + 24)}{k + 28} \\ 8 \cdot R_{3} + R_{2} & 8 \cdot R_{3} + R_{2} & 8 \cdot R_{3} + R_{2} & 8 \cdot R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

$R_{2} = 8 \cdot R_{3} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = 8 \cdot R_{3} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3 (k + 24)}{k + 28} \\ (8) \cdot (0) + 0 & (8) \cdot (0) + 1 & (8) \cdot (1) - 8 & (8) \cdot (\frac{1}{k + 28}) - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

$R_{2} = 8 \cdot R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3 (k + 24)}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

Step 3

Since $\frac{1}{k + 28}$ is undefined when $k = - 28$ , then $k = - 28$ makes the system have no solution.

$k = - 28$

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