선형 대수 예제

$x + 2 y + z = 3$ , $2 x - y - 3 z = 5$ , $4 x + 3 y - z = k$

$k$ 는 변수를 포함하고 있으므로 방정식의 좌변으로 보냅니다.

$x + 2 y + z = 3$

$2 x - y - 3 z = 5$

$4 x + 3 y - z - k = 0$

연립방정식을 행렬 형태로 씁니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 & 5 \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Find the reduced row echelon form.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

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행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (2) - 1 & (- 2) \cdot (1) - 3 & (- 2) \cdot (3) + 5 \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ k \cdot R_{1} + R_{3} & k \cdot R_{1} + R_{3} & k \cdot R_{1} + R_{3} & k \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ (k) \cdot (1) - k & (k) \cdot (2) + 3 & (k) \cdot (1) - 1 & (k) \cdot (3) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

행연산 $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 1) \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

$R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (1) + 1 & (- 2) \cdot (\frac{1}{5}) + 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

$R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ (- 2 k - 3) \cdot (0) + 0 & (- 2 k - 3) \cdot (1) + 2 k + 3 & (- 2 k - 3) \cdot (1) + k - 1 & (- 2 k - 3) \cdot (\frac{1}{5}) + 3 k \end{array}]$

$R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3} & - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3} & - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3} & - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$

행연산 $R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ (- \frac{1}{k + 4}) \cdot (0) & (- \frac{1}{k + 4}) \cdot (0) & (- \frac{1}{k + 4}) \cdot (- k - 4) & (- \frac{1}{k + 4}) \cdot (\frac{13 k - 3}{5}) \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = R_{3} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = R_{3} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} R_{3} + R_{1} & R_{3} + R_{1} & R_{3} + R_{1} & R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

$R_{1} = R_{3} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = R_{3} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 0 + 0 & 1 - 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} + \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

$R_{1} = R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ - 1 \cdot R_{3} + R_{2} & - 1 \cdot R_{3} + R_{2} & - 1 \cdot R_{3} + R_{2} & - 1 \cdot R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)}) + \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Since $- \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)}$ is undefined when $k = - 4$ , then $k = - 4$ makes the system have no solution.

$k = - 4$

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