선형 대수 예제

$x + y + 5 z = - 3$ , $x + 2 y - 2 z = 3$ , $4 x + 11 y + k z = 31$

연립방정식을 행렬 형태로 씁니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

Find the reduced row echelon form.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

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행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 2 & (- 1) \cdot (5) - 2 & (- 1) \cdot (- 3) + 3 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

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행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{3} & - 4 \cdot R_{1} + R_{3} & - 4 \cdot R_{1} + R_{3} & - 4 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 & (- 4) \cdot (1) + 11 & (- 4) \cdot (5) + k & (- 4) \cdot (- 3) + 31 \end{array}]$

$R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 7 & - 20 + k & 43 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 7 & - 20 + k & 43 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- 7) + 5 & (- 1) \cdot (6) - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 7 & - 20 + k & 43 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & - 9 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 7 & - 20 + k & 43 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 7 \cdot R_{2} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 7 \cdot R_{2} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & - 9 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ - 7 \cdot R_{2} + R_{3} & - 7 \cdot R_{2} + R_{3} & - 7 \cdot R_{2} + R_{3} & - 7 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 7 \cdot R_{2} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 7 \cdot R_{2} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & - 9 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ (- 7) \cdot (0) + 0 & (- 7) \cdot (1) + 7 & (- 7) \cdot (- 7) - 20 + k & (- 7) \cdot (6) + 43 \end{array}]$

$R_{3} = - 7 \cdot R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & - 9 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & 29 + k & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & - 9 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3} & \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3} & \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3} & \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3}$

행연산 $R_{3} = \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & - 9 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ (\frac{1}{29 + k}) \cdot (0) & (\frac{1}{29 + k}) \cdot (0) & (\frac{1}{29 + k}) \cdot (29 + k) & (\frac{1}{29 + k}) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{29 + k} \cdot R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 12 & - 9 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{29 + k} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - 12 \cdot R_{3} + R_{1} & - 12 \cdot R_{3} + R_{1} & - 12 \cdot R_{3} + R_{1} & - 12 \cdot R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{29 + k} \end{array}]$

$R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- 12) \cdot (0) + 1 & (- 12) \cdot (0) + 0 & (- 12) \cdot (1) + 12 & (- 12) \cdot (\frac{1}{29 + k}) - 9 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{29 + k} \end{array}]$

$R_{1} = - 12 \cdot R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{29 + k} \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{29 + k} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = 7 \cdot R_{3} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = 7 \cdot R_{3} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{29 + k} \\ 7 \cdot R_{3} + R_{2} & 7 \cdot R_{3} + R_{2} & 7 \cdot R_{3} + R_{2} & 7 \cdot R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{29 + k} \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{3} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = 7 \cdot R_{3} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{29 + k} \\ (7) \cdot (0) + 0 & (7) \cdot (0) + 1 & (7) \cdot (1) - 7 & (7) \cdot (\frac{1}{29 + k}) + 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{29 + k} \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{29 + k} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{181 + 6 k}{29 + k} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{29 + k} \end{array}]$

Since $\frac{1}{29 + k}$ is undefined when $k = - 29$ , then $k = - 29$ makes the system have no solution.

$k = - 29$

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