선형 대수 예제

$2 x - y + 3 z = 8$ , $x - 6 y - z = 0$ , $- 6 x + 3 y - 9 z = 24$

연립방정식을 행렬 형태로 씁니다.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 & 8 \\ 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ - 6 & 3 & - 9 & 24 \end{array}]$

행 소거를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ - 6 & 3 & - 9 & 24 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

행연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 1) & (\frac{1}{2}) \cdot (3) & (\frac{1}{2}) \cdot (8) \\ 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ - 6 & 3 & - 9 & 24 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ - 6 & 3 & - 9 & 24 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 6 & 3 & - 9 & 24 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{1}{2}) - 6 & (- 1) \cdot (\frac{3}{2}) - 1 & (- 1) \cdot (4) + 0 \\ - 6 & 3 & - 9 & 24 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ 0 & - \frac{11}{2} & - \frac{5}{2} & - 4 \\ - 6 & 3 & - 9 & 24 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = 6 \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = 6 \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ 0 & - \frac{11}{2} & - \frac{5}{2} & - 4 \\ 6 \cdot R_{1} + R_{3} & 6 \cdot R_{1} + R_{3} & 6 \cdot R_{1} + R_{3} & 6 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 6 \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = 6 \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ 0 & - \frac{11}{2} & - \frac{5}{2} & - 4 \\ (6) \cdot (1) - 6 & (6) \cdot (- \frac{1}{2}) + 3 & (6) \cdot (\frac{3}{2}) - 9 & (6) \cdot (4) + 24 \end{array}]$

$R_{3} = 6 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ 0 & - \frac{11}{2} & - \frac{5}{2} & - 4 \\ 0 & 0 & 0 & 48 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ - \frac{2}{11} R_{2} & - \frac{2}{11} R_{2} & - \frac{2}{11} R_{2} & - \frac{2}{11} R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 48 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{11} R_{2}$

행연산 $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ (- \frac{2}{11}) \cdot (0) & (- \frac{2}{11}) \cdot (- \frac{11}{2}) & (- \frac{2}{11}) \cdot (- \frac{5}{2}) & (- \frac{2}{11}) \cdot (- 4) \\ 0 & 0 & 0 & 48 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{11} R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 4 \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 48 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 48 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (\frac{1}{2}) \cdot (1) - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{5}{11}) + \frac{3}{2} & (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{8}{11}) + 4 \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 48 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{19}{11} & \frac{48}{11} \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 48 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = \frac{1}{48} R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = \frac{1}{48} R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{19}{11} & \frac{48}{11} \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ \frac{1}{48} R_{3} & \frac{1}{48} R_{3} & \frac{1}{48} R_{3} & \frac{1}{48} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{48} R_{3}$

행연산 $R_{3} = \frac{1}{48} R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{19}{11} & \frac{48}{11} \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ (\frac{1}{48}) \cdot (0) & (\frac{1}{48}) \cdot (0) & (\frac{1}{48}) \cdot (0) & (\frac{1}{48}) \cdot (48) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{48} R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{19}{11} & \frac{48}{11} \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{48}{11}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{48}{11}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{48}{11}) \cdot (0) + \frac{19}{11} & (- \frac{48}{11}) \cdot (1) + \frac{48}{11} \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{48}{11} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{19}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{19}{11} & 0 \\ - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{19}{11} & 0 \\ (- \frac{8}{11}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{8}{11}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{8}{11}) \cdot (0) + \frac{5}{11} & (- \frac{8}{11}) \cdot (1) + \frac{8}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{8}{11} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{19}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x + \frac{19 z}{11} = 0$

$y + \frac{5 z}{11} = 0$

$0 = 1$

방정식의 양변에서 $\frac{19 z}{11}$ 를 뺍니다.

$x = - \frac{19 z}{11}$

$y + \frac{5 z}{11} = 0$

$0 = 1$

방정식의 양변에서 $\frac{5 z}{11}$ 를 뺍니다.

$x = - \frac{19 z}{11}$

$y = - \frac{5 z}{11}$

$0 = 1$

$0 \neq 1$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

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