Kalkulus Contoh

$y = 3 x - x^{2}$ , $y = x^{2}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$3 x - x^{2} = x^{2}$

Langkah 1.2

Selesaikan $3 x - x^{2} = x^{2}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Langkah 1.2.1.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$3 x - 2 x^{2} = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$3 u - 2 u^{2} = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $u$ dari $3 u - 2 u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan $u$ dari $3 u$ .

$u \cdot 3 - 2 u^{2} = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Faktorkan $u$ dari $- 2 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- 2 u) = 0$

Langkah 1.2.2.2.3

Faktorkan $u$ dari $u \cdot 3 + u (- 2 u)$ .

$u (3 - 2 u) = 0$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$x (3 - 2 x) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$3 - 2 x = 0 + y = x^{2}$

Langkah 1.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $3 - 2 x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $3 - 2 x$ sama dengan $0$ .

$3 - 2 x = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $3 - 2 x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x = - 3$

Langkah 1.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x = - 3$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x = - 3$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 1.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 1.2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 1.2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{3}{2}$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (3 - 2 x) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = {(0)}^{2}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $0$ ke $x$ dalam $y = {(0)}^{2}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{2}$

Langkah 1.3.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = \frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $\frac{3}{2}$ untuk $x$ .

$y = {(\frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Langkah 1.4.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{9}{2^{2}}$

Langkah 1.4.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{9}{4}$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

Langkah 2

Susun kembali $3 x$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 3 x$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $\frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x - (x^{2}) d x$

Langkah 4.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} + 3 x d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Langkah 4.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- 2 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Langkah 4.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Langkah 4.7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x d x$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 4.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 4.9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $\frac{3}{2}$ dan pada $0$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 4.9.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $\frac{3}{2}$ dan pada $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.4

Tambahkan $\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}$ dan $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 4.9.2.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Langkah 4.9.2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 4.9.2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 4.9.2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Langkah 4.9.2.3.6.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Langkah 4.9.2.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Langkah 4.9.2.3.8

Tambahkan $\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$ dan $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{3^{3}}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$- 2 \frac{\frac{27}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$- 2 \frac{\frac{27}{8}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- 2 (\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$- 2 (\frac{3 (9)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 (\frac{9}{8}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{9}{8} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{2^{2}}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.5.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{4}}{2}$

Langkah 4.9.3.1.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 4.9.3.1.7

Kalikan $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1.7.1

Kalikan $\frac{9}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{9}{4 \cdot 2}$

Langkah 4.9.3.1.7.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{8})$

Langkah 4.9.3.1.8

Kalikan $3 (\frac{9}{8})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1.8.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{9}{8}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{8}$

Langkah 4.9.3.1.8.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{8}$

Langkah 4.9.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{9}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{8}$

Langkah 4.9.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.3.1

Kalikan $\frac{9}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{27}{8}$

Langkah 4.9.3.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$- \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{27}{8}$

Langkah 4.9.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{8}$

Langkah 4.9.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.5.1

Kalikan $- 9$ dengan $2$ .

$\frac{- 18 + 27}{8}$

Langkah 4.9.3.5.2

Tambahkan $- 18$ dan $27$ .

$\frac{9}{8}$

Langkah 5

Masukkan Soal