Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ , $[0, 2]$

Langkah 1

Tentukan turunan dari $f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $3 x^{2} - 2 x + 2$ dan $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 2 x + 2$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

$f' (x)$ kontinu di $[0, 2]$ .

$f' (x)$ kontinu

Langkah 4

Nilai rerata dari fungsi $f'$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 2 d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Langkah 7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Langkah 10

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Langkah 14.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Langkah 14.3

Evaluasi $2 x$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} + 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.5

Tambahkan $\frac{8}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.6

Gabungkan $3$ dan $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.7

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{24}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.8

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.8.1

Faktorkan $3$ dari $24$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.8.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.9

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.10

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.10.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.10.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.11

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.12.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 + 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.14

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.15

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.16

Kurangi $4$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.17

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 - 2 \cdot 0)$

Langkah 14.4.18

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 + 0)$

Langkah 14.4.19

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4)$

Langkah 14.4.20

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8)$

Langkah 15

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 8$

Langkah 15.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

Langkah 16

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Langkah 16.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Langkah 16.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 4$

Langkah 17

Masukkan Soal