Algèbre linéaire Exemples

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$ , $v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Étape 1

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Affectez le nom $S$ à l'ensemble et le nom $v$ au vecteur.

Étape 2

Définissez une relation linéaire pour savoir si une solution non triviale au système existe.

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Écrivez les vecteurs sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.2

Écrivez comme une matrice augmentée pour $A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 3 + 1 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 2 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 4

Comme le système obtenu est cohérent, le vecteur est un élément de l’ensemble.

$v \in ⟨ S ⟩$

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