Ensembles finis Exemples

Déterminer l’espérance mathématique
Étape 1
Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.
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Étape 1.1
Une variable aléatoire discrète prend un ensemble de valeurs séparées (tel que , , …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité à chaque valeur possible . Pour chaque , la probabilité diminue entre et inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs possibles est égale à .
1. Pour chaque , .
2. .
Étape 1.2
est compris entre et inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.
est compris entre et inclus
Étape 1.3
est compris entre et inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.
est compris entre et inclus
Étape 1.4
est compris entre et inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.
est compris entre et inclus
Étape 1.5
est compris entre et inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.
est compris entre et inclus
Étape 1.6
est compris entre et inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.
est compris entre et inclus
Étape 1.7
Pour chaque , la probabilité est compris entre et inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.
pour toutes les valeurs x
Étape 1.8
Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs possibles.
Étape 1.9
La somme des probabilités pour toutes les valeurs possibles est .
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Étape 1.9.1
Additionnez et .
Étape 1.9.2
Additionnez et .
Étape 1.9.3
Additionnez et .
Étape 1.9.4
Additionnez et .
Étape 1.10
Pour chaque , la probabilité de est comprise entre et inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les possibles est égale à , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité
La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :
Propriété 1 : pour toutes les valeurs
Propriété 2 :
La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :
Propriété 1 : pour toutes les valeurs
Propriété 2 :
Étape 2
L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.
Étape 3
Simplifiez l’expression.
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Étape 3.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 3.1.1
Multipliez par .
Étape 3.1.2
Multipliez par .
Étape 3.1.3
Multipliez par .
Étape 3.1.4
Multipliez par .
Étape 3.1.5
Multipliez par .
Étape 3.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
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Étape 3.2.1
Additionnez et .
Étape 3.2.2
Additionnez et .
Étape 3.2.3
Additionnez et .
Étape 3.2.4
Additionnez et .
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