Utiliser la différenciation logarithmique pour déterminer la dérivée

$y = {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$ en déplaçant $\cos (x)$ hors du logarithme.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (\sin (x))$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (\sin (x))$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y'}{y} = {\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2.10

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

Étape 3.2.11

Simplifiez

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Étape 3.2.11.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Étape 3.2.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.11.2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Étape 3.2.11.2.2

Associez $\cos^{2} (x)$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Étape 3.2.11.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.11.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Étape 3.2.11.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Étape 3.2.11.3.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Étape 3.2.11.3.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = (\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = (\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Étape 5.1.2

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 5.1.2.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Étape 5.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Étape 5.1.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Étape 5.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Étape 5.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\cos (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Étape 5.3

Associez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ et ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Étape 5.4

Multipliez $\sin (x)$ par ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1

Déplacez ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin (x)) \ln (\sin (x))$

Étape 5.4.2

Multipliez ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ par $\sin (x)$ .

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Étape 5.4.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin^{1} (x)) \ln (\sin (x))$

Étape 5.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}}{1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Étape 5.5.2.4

Divisez $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}$ par $1$ .

$y' = \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Étape 5.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$ .

$y' = {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} \cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

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Utiliser la différenciation logarithmique pour déterminer la dérivée

Dérivées