Trigonometría Ejemplos

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) - 1)$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Reordena $\cos^{2} (x)$ y $- 1$ .

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Paso 1.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Paso 1.3

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) - 1)$

Paso 1.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Paso 1.5

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Paso 2

Aplica la identidad pitagórica.

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) - 1)$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \sin^{2} (x) ({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1)$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$- \sin^{2} (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Paso 4

Multiplica $- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Paso 4.1

Combina $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ y $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Paso 4.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Paso 4.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Paso 5

Multiplica $- \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \sin^{2} (x)$

Paso 5.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x)$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2} + \sin^{2} (x)$

Paso 6.2

Reordena $- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ y $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Paso 8.1.2

Separa las fracciones.

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Paso 8.1.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Paso 8.1.4

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

Paso 8.2.2

Separa las fracciones.

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Paso 8.2.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

Paso 8.2.4

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Paso 9

Expande $(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Combina los términos opuestos en $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ .

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Paso 10.1.1

Reordena los factores en los términos $\sin (x) (- \sin (x) \tan (x))$ y $\sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Paso 10.1.2

Suma $- \sin (x) \sin (x) \tan (x)$ y $\sin (x) \sin (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Paso 10.1.3

Suma $\sin (x) \sin (x)$ y $0$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 10.2.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Paso 10.2.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Paso 10.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Paso 10.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Paso 10.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

Paso 10.2.3

Multiplica $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

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Paso 10.2.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

Paso 10.2.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

Paso 10.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

Paso 10.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

Paso 10.2.4

Multiplica $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 10.2.4.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Paso 10.2.4.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Paso 10.2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

Paso 10.2.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

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