Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los eigenvectores.

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Paso 1.1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 1.1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 1.1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.4.3

Simplifica cada elemento.

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Paso 1.1.4.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.4.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.5

Obtén el determinante.

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Paso 1.1.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.2.1.1

Expande $(4 - λ) (3 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.2.1.2.1.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.2.2

Resta $3 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.1.5.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Paso 1.1.5.2.2

Resta $6$ de $12$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Paso 1.1.5.2.3

Reordena $- 7 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Paso 1.1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Paso 1.1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.1.7.1

Factoriza $λ^{2} - 7 λ + 6$ con el método AC.

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Paso 1.1.7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 6, - 1$

Paso 1.1.7.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Paso 1.1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

Paso 1.1.7.3

Establece $λ - 6$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.1.7.3.1

Establece $λ - 6$ igual a $0$ .

$λ - 6 = 0$

Paso 1.1.7.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 6$

Paso 1.1.7.4

Establece $λ - 1$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Establece $λ - 1$ igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Paso 1.1.7.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 1$

Paso 1.1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 6) (λ - 1) = 0$ verdadera.

$λ = 6, 1$

Paso 1.2

El vector propio es igual al espacio nulo de la matriz menos la cantidad de veces del valor propio de la matriz de identidades en donde $N$ es el espacio nulo y $I$ es la matriz de identidades.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Paso 1.3

Obtén el vector propio con el valor propio $λ = 6$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.3.2

Simplifica.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Multiplica $- 6$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.3.2.1.2.1

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.2

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.3

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.4

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Paso 1.3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3

Simplifica cada elemento.

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Paso 1.3.2.3.1

Resta $6$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.3

Suma $3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.4

Resta $6$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.3

Obtén el espacio nulo cuando $λ = 6$ .

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Paso 1.3.3.1

Escribe como una matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 1.3.3.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 1.3.3.2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Paso 1.3.3.4

Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Paso 1.3.3.5

Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 1.3.3.6

Escribe como un conjunto de soluciones.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 1.3.3.7

La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 1.4

Obtén el vector propio con el valor propio $λ = 1$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.1

Resta los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.2

Simplifica cada elemento.

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Paso 1.4.2.2.1

Resta $1$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $0$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.2.3

Resta $0$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.2.4

Resta $1$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Paso 1.4.3

Obtén el espacio nulo cuando $λ = 1$ .

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Paso 1.4.3.1

Escribe como una matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 1.4.3.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 1.4.3.2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 1.4.3.2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Paso 1.4.3.4

Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Escribe como un conjunto de soluciones.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 1.4.3.7

La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 1.5

El espacio propio de $A$ es la lista del espacio vectorial para cada valor propio.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 2

Define $P$ como una matriz de los eigenvectores.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la inversa de $P$ .

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Paso 3.1

La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $a d - b c$ es el determinante.

Paso 3.2

Obtén el determinante.

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Paso 3.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 - - \frac{2}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- - \frac{2}{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Paso 3.2.2.1.2.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$1 + \frac{2}{3}$

Paso 3.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + 2}{3}$

Paso 3.2.2.4

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{5}{3}$

Paso 3.3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 3.4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{3}{5}$ por cada elemento de la matriz.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.8

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.8.1

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.8.2.1

Cancela el factor común.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.8.2.2

Reescribe la expresión.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.8.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.8.4

Multiplica $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 3.8.4.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.8.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.8.6

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Paso 4

Usa la transformación de similitudes para obtener la matriz diagonal $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Paso 5

Sustituye las matrices.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

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Paso 6.1.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es $2 \times 2$ y la segunda matriz es $2 \times 2$ .

Paso 6.1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6.1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6.2

Multiplica $[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 6.2.1

Paso 6.2.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 6.2.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

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