Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Paso 1

En una serie infinita $\sum_{}^{} a_{n}$ , obtén el límite de $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ para determinar la convergencia usando la prueba de la raíz de Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Paso 2

Sustituye por $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el exponente al valor absoluto.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Paso 3.3

Simplifica.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el límite dentro de los signos de valor absoluto.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Paso 4.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $n$ en el denominador, que es $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3

Evalúa el límite.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común de $n$ y $n^{3}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Factoriza $n$ de $2 n$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.1.2.1

Factoriza $n$ de $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común de $n^{3}$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $n^{3}$ .

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.2.2

Divide $5$ por $1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.3.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{n^{2}}$ se acerca a $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.5

Evalúa el límite.

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Paso 4.5.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.5.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.5.3

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $n$ se acerca a $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Paso 4.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{n^{3}}$ se acerca a $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Paso 4.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Paso 4.7.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Paso 4.7.2

Suma $5$ y $0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Paso 4.7.3

$\frac{1}{5}$ es aproximadamente $0.2$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$L = \frac{1}{5}$

Paso 4.8

Divide $1$ por $5$ .

$L = 0.2$

Paso 5

Si $L < 1$ , la serie es absolutamente convergente. Si $L > 1$ , la serie es divergente. Si $L = 1$ , la prueba queda inconclusa. En este caso, $L < 1$ .

La serie es convergente en $[1, \infty)$

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