Álgebra Ejemplos

$(1, 1, 1)$ , $(0, 1, 1)$ , $(0, 0, 1)$

Paso 1

Asigna un nombre a cada vector.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Paso 2

El primer vector ortogonal es el primer vector del conjunto dado de vectores.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Paso 3

Usa la fórmula para hallar los demás vectores ortogonales.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Paso 4

Obtén el vector ortogonal ${v⃗}_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Usa la fórmula para obtener ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Paso 4.2

Sustituye $(0, 1, 1)$ por ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Paso 4.3

Obtén ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Obtén el producto escalar.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1.1

Multiplica $0$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2.1.2

Multiplica $1$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2.1.3

Multiplica $1$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Paso 4.3.1.2.2

Suma $0$ y $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Paso 4.3.1.2.3

Suma $1$ y $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Paso 4.3.2

Obtén la norma de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Paso 4.3.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Paso 4.3.2.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Paso 4.3.3

Obtén la proyección de ${u⃗}_{2}$ en ${v⃗}_{1}$ usando la fórmula de proyección.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.4

Sustituye $2$ por ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.5

Sustituye $\sqrt{3}$ por $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.6

Sustituye $(1, 1, 1)$ por ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.1.4.1

Cancela el factor común.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.4.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.5

Evalúa el exponente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por cada elemento de la matriz.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.3.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 4.4

Sustituye la proyección.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Combina cada componente de los vectores.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.2

Resta $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.5

Resta $2$ de $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 4.5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Paso 4.5.8

Resta $2$ de $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5

Obtén el vector ortogonal ${v⃗}_{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa la fórmula para obtener ${v⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Paso 5.2

Sustituye $(0, 0, 1)$ por ${u⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Paso 5.3

Obtén ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Obtén el producto escalar.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1.1

Multiplica $0$ por $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.2.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Paso 5.3.1.2.1.3

Multiplica $1$ por $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Paso 5.3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Paso 5.3.1.2.3

Suma $0$ y $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Paso 5.3.2

Obtén la norma de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 5.3.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Paso 5.3.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Paso 5.3.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Paso 5.3.2.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Paso 5.3.3

Obtén la proyección de ${u⃗}_{3}$ en ${v⃗}_{1}$ usando la fórmula de proyección.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 5.3.4

Sustituye $1$ por ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 5.3.5

Sustituye $\sqrt{3}$ por $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 5.3.6

Sustituye $(1, 1, 1)$ por ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 5.3.7

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.7.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 5.3.7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 5.3.7.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Paso 5.3.7.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.7.1.4.1

Cancela el factor común.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Paso 5.3.7.1.4.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Paso 5.3.7.1.5

Evalúa el exponente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Paso 5.3.7.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por cada elemento de la matriz.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 5.3.7.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.7.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 5.3.7.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 5.3.7.3.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4

Obtén ${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Obtén el producto escalar.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Paso 5.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.2.1.1

Multiplica $0 (- \frac{2}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Paso 5.4.1.2.1.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Paso 5.4.1.2.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Paso 5.4.1.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Paso 5.4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Paso 5.4.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Paso 5.4.2

Obtén la norma de ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Paso 5.4.2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.3

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.4.2.2.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Paso 5.4.2.2.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 5.4.2.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 5.4.2.2.13

Suma $4$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 5.4.2.2.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Paso 5.4.2.2.15

Suma $5$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Paso 5.4.2.2.16

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.16.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Paso 5.4.2.2.16.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.16.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.4.2.2.16.2.2

Cancela el factor común.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.4.2.2.16.2.3

Reescribe la expresión.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.2.2.17

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.4.2.2.18

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.4.2.2.19

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.19.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.4.2.2.19.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 5.4.2.2.19.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 5.4.2.2.19.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.4.2.2.19.5

Suma $1$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.19.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.19.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.4.2.2.19.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2.19.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.4.2.2.19.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.19.6.4.1

Cancela el factor común.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.4.2.2.19.6.4.2

Reescribe la expresión.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 5.4.2.2.19.6.5

Evalúa el exponente.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.4.2.2.20

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.20.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Paso 5.4.2.2.20.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 5.4.3

Obtén la proyección de ${u⃗}_{3}$ en ${v⃗}_{2}$ usando la fórmula de proyección.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Paso 5.4.4

Sustituye $\frac{1}{3}$ por ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Paso 5.4.5

Sustituye $\frac{\sqrt{6}}{3}$ por $| | {v⃗}_{2} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Paso 5.4.6

Sustituye $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ por ${v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.7.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.7.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.7.1.2.4.1

Cancela el factor común.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.2.5

Evalúa el exponente.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 5.4.7.1.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.7.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.4.2.2

Cancela el factor común.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.7.3.1

Cancela el factor común.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.3.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por cada elemento de la matriz.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.5

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 5.4.7.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.7.5.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.5.1.3

Cancela el factor común.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.5.1.4

Reescribe la expresión.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.5.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.4.7.5.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.5.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 5.4.7.5.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.4.7.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Paso 5.4.7.5.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Paso 5.5

Sustituye las proyecciones.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Combina cada componente de los vectores.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Paso 5.6.2

Combina cada componente de los vectores.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.3

Multiplica $- (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 5.6.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.4

Combina fracciones.

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Paso 5.6.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.4.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.4.2.2

Divide $0$ por $3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.5

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.6

Resta $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.7

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.6.8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.8.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.9.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.10

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 5.6.10.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.10.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.10.2.2

Cancela el factor común.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.10.2.3

Reescribe la expresión.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.12

Obtén el denominador común

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Paso 5.6.12.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.12.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.12.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.12.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.12.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.12.6

Reordena los factores de $3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.12.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Paso 5.6.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Paso 5.6.14

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.6.14.1

Resta $2$ de $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Paso 5.6.14.2

Resta $1$ de $4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Paso 5.6.15

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 5.6.15.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Paso 5.6.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.15.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Paso 5.6.15.2.2

Cancela el factor común.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Paso 5.6.15.2.3

Reescribe la expresión.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Paso 6

Obtén la base ortonormal dividiendo cada vector ortogonal por su norma.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Paso 7

Obtén el vector unitario de $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , donde ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Paso 7.1

Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector $v⃗$ , divídelo por la norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Paso 7.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 7.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Paso 7.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Paso 7.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Paso 7.3.5

Suma $2$ y $1$ .

$\sqrt{3}$

Paso 7.4

Divide el vector por su norma.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Paso 7.5

Divide cada elemento del vector por $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Paso 8

Obtén el vector unitario de $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , donde ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Paso 8.1

Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector $v⃗$ , divídelo por la norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Paso 8.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.3

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 8.3.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Paso 8.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Paso 8.3.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 8.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 8.3.13

Suma $4$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 8.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Paso 8.3.15

Suma $5$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Paso 8.3.16

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 8.3.16.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Paso 8.3.16.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.16.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 8.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 8.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Paso 8.3.17

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.4

Divide el vector por su norma.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Paso 8.5

Divide cada elemento del vector por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 8.6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 8.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 8.6.4

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 8.6.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 8.6.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 8.6.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Paso 8.6.8

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Paso 9

Obtén el vector unitario de $\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ , donde ${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

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Paso 9.1

Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector $v⃗$ , divídelo por la norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Paso 9.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 9.3.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.3.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 9.3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 9.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 9.3.4

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 9.3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 9.3.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 9.3.7

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 9.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 9.3.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Paso 9.3.10

Suma $0$ y $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Paso 9.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Paso 9.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Paso 9.3.13

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 9.3.13.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 9.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 9.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 9.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 9.3.14

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.15

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 9.4

Divide el vector por su norma.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Paso 9.5

Divide cada elemento del vector por $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Paso 9.6

Simplifica.

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Paso 9.6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Paso 9.6.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Paso 9.6.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Paso 9.6.4

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Paso 9.6.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Paso 9.6.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 10

Sustituye los valores conocidos.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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