Analysis Beispiele

$y = x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{5})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{5}] + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$x (5 {(x^{2} + 1)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x (10 {(x^{2} + 1)}^{4} x) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5} \cdot 1$

Schritt 3.9

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{5}$ mit $1$ .

$x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{4}$ aus $x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4}) + {(x^{2} + 1)}^{5}$ heraus.

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Schritt 3.10.1.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{4}$ aus $x^{2} (10 {(x^{2} + 1)}^{4})$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{5}$

Schritt 3.10.1.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{4}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{5}$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} + 1)$

Schritt 3.10.1.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{4}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10)) + {(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} + 1)$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{4} (x^{2} \cdot (10) + x^{2} + 1)$

Schritt 3.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.10.2.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (10 \cdot x^{2} + x^{2} + 1)$

Schritt 3.10.2.2

Addiere $10 x^{2}$ und $x^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = {(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(x^{2} + 1)}^{4} (11 x^{2} + 1)$