Основы мат. анализа Примеры

$(6, 8)$ , $(2, 4)$

Этап 1

Найдем угол между двумя векторами по формуле скалярного произведения.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $6$ на $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Этап 2.2.1.2

Умножим $8$ на $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Этап 2.2.2

Добавим $12$ и $32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Этап 3.2.3

Добавим $36$ и $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Этап 3.2.4

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| a⃗ | = 10$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Этап 4.2.3

Добавим $4$ и $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Этап 4.2.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $44$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $44$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $22$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $5 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Этап 6.4.2

Перенесем $\sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Этап 6.4.4

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Этап 6.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Этап 6.4.7

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Этап 6.4.7.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Этап 6.5

Умножим $5$ на $5$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Этап 6.6

Найдем значение $\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

$θ = 10.30484646$

Введите СВОЮ задачу