Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{2} - 5}{x - 5}$ при $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$5$	$3$	$0$	$- 5$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$5$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(15)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$
	$3$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$
	$3$	$15$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(15)$ на делитель $(5)$ и запишем их произведение $(75)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$	$75$
	$3$	$15$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$	$75$
	$3$	$15$	$70$

Этап 2.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(3) x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Этап 2.8

Упростим частное многочленов.

$3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Этап 3

Поскольку $5 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $5$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $5$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{2} - 5}{x + 5}$ при $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(- 15)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$
	$3$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$
	$3$	$- 15$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 15)$ на делитель $(- 5)$ и запишем их произведение $(75)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$	$75$
	$3$	$- 15$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$	$75$
	$3$	$- 15$	$70$

Этап 4.7

$(3) x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Этап 4.8

Упростим частное многочленов.

$3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Этап 5

Поскольку $- 5 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 5$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 5$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{2} - 5}{x - \frac{5}{3}}$ при $x = \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(\frac{5}{3})$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$
	$3$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$
	$3$	$5$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(\frac{5}{3})$ и запишем их произведение $(\frac{25}{3})$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$5$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$5$	$\frac{10}{3}$

Этап 6.7

$(3) x + 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x - \frac{5}{3}}$

Этап 6.8

Упростим частное многочленов.

$3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}$

Этап 7

Поскольку $\frac{5}{3} > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $\frac{5}{3}$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $\frac{5}{3}$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{2} - 5}{x + \frac{5}{3}}$ при $x = - \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- \frac{5}{3})$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$
	$3$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$
	$3$	$- 5$

Этап 8.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 5)$ на делитель $(- \frac{5}{3})$ и запишем их произведение $(\frac{25}{3})$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$- 5$

Этап 8.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$- 5$	$\frac{10}{3}$

Этап 8.7

$(3) x - 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x + \frac{5}{3}}$

Этап 8.8

Упростим частное многочленов.

$3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}$

Этап 9

Поскольку $- \frac{5}{3} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{5}{3}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{5}{3}$

Этап 10

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $5, \frac{5}{3}$

Нижние границы: $- 5, - \frac{5}{3}$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу