Основы мат. анализа Примеры

$(2, 3)$ , $(- 1, - 5)$

Этап 1

Общее уравнение параболы с вершиной $(h, k)$ : $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . В данном случае у нас есть точка $(2, 3)$ в качестве вершины $(h, k)$ и точка $(- 1, - 5)$ , которая является точкой $(x, y)$ на параболе. Чтобы найти $a$ , подставим эти две точки в $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$

Этап 2

Использование $- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$ для решения относительно $a$ , $a = - \frac{8}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$ .

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5$

Этап 2.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5$

Этап 2.2.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$a \cdot 9 + 3 = - 5$

Этап 2.2.4

Перенесем $9$ влево от $a$ .

$9 a + 3 = - 5$

Этап 2.3

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$9 a = - 5 - 3$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$9 a = - 8$

Этап 2.4

Разделим каждый член $9 a = - 8$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $9 a = - 8$ на $9$ .

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- 8}{9}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{8}{9}$

Этап 3

Использование $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , общее уравнение параболы с вершиной $(2, 3)$ и $a = - \frac{8}{9}$ : $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 4

Решим $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 4.2

Умножим $- \frac{8}{9}$ на ${(x - (2))}^{2}$ .

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 4.3

Избавимся от скобок.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 4.4

Упростим $(- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Этап 4.4.1.2

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = - \frac{8}{9} ((x - 2) (x - 2)) + 3$

Этап 4.4.1.3

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{9} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

Этап 4.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

Этап 4.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Этап 4.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Этап 4.4.1.4.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Этап 4.4.1.4.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

Этап 4.4.1.4.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

Этап 4.4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{9} x^{2} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.2

Умножим $- \frac{8}{9} (- 4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + 4 (\frac{8}{9}) x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.2.2

Объединим $4$ и $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{4 \cdot 8}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.2.3

Умножим $4$ на $8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.2.4

Объединим $\frac{32}{9}$ и $x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.3

Умножим $- \frac{8}{9} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - 4 (\frac{8}{9}) + 3$

Этап 4.4.1.6.3.2

Объединим $- 4$ и $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 8}{9} + 3$

Этап 4.4.1.6.3.3

Умножим $- 4$ на $8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Этап 4.4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.7.1

Перенесем $8$ влево от $x^{2}$ .

$y = - \frac{8 \cdot x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Этап 4.4.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3$

Этап 4.4.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 4.4.3

Объединим $3$ и $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Этап 4.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 3 \cdot 9}{9}$

Этап 4.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Умножим $3$ на $9$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 27}{9}$

Этап 4.4.5.2

Добавим $- 32$ и $27$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 5}{9}$

Этап 4.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{5}{9}$

Этап 5

Уравнение в стандартной форме и уравнение с заданной вершиной имеют следующий вид.

Стандартная форма: $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Форма с выделенной вершиной: $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 6

Упростим стандартную форму.

Стандартная форма: $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Форма с выделенной вершиной: $y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Этап 7

Введите СВОЮ задачу