Основы мат. анализа Примеры

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) - 1)$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Этап 1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Этап 1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) - 1)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Этап 1.5

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Этап 2

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) - 1)$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$- \sin^{2} (x) ({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1)$

Этап 3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$- \sin^{2} (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Этап 4

Умножим $- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Этап 4.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Этап 5

Умножим $- \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \sin^{2} (x)$

Этап 5.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2} + \sin^{2} (x)$

Этап 6.2

Изменим порядок $- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ и $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (x)$ и $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 8.1.2

Разделим дроби.

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 8.1.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 8.1.4

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 8.2.2

Разделим дроби.

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Этап 8.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

Этап 8.2.4

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Этап 9

Развернем $(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим противоположные члены в $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\sin (x) (- \sin (x) \tan (x))$ и $\sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 10.1.2

Добавим $- \sin (x) \sin (x) \tan (x)$ и $\sin (x) \sin (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 10.1.3

Добавим $\sin (x) \sin (x)$ и $0$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 10.2.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 10.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 10.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Этап 10.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

Этап 10.2.3

Умножим $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

Этап 10.2.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

Этап 10.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

Этап 10.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

Этап 10.2.4

Умножим $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Этап 10.2.4.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Этап 10.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

Этап 10.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Введите СВОЮ задачу