Линейная алгебра Примеры

Нахождение ортонормированного базиса по методу Грэма — Шмидта
Этап 1
Назначим имя каждому вектору.
Этап 2
Первый ортогональный вектор — это первый вектор в данном множестве векторов.
Этап 3
Найдем другие ортогональные векторы по этой формуле.
Этап 4
Найдем ортогональный вектор .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Найдем по этой формуле.
Этап 4.2
Подставим вместо .
Этап 4.3
Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Найдем скалярное произведение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.1
Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.
Этап 4.3.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 4.3.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 4.3.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 4.3.1.2.2
Добавим и .
Этап 4.3.1.2.3
Добавим и .
Этап 4.3.2
Найдем норму .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 4.3.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.2.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.3.2.2.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.3.2.2.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.3.2.2.4
Добавим и .
Этап 4.3.2.2.5
Добавим и .
Этап 4.3.3
Найдем проекцию на по формуле проекции.
Этап 4.3.4
Подставим вместо .
Этап 4.3.5
Подставим вместо .
Этап 4.3.6
Подставим вместо .
Этап 4.3.7
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.7.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.7.1.3
Объединим и .
Этап 4.3.7.1.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.7.1.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.7.1.5
Найдем экспоненту.
Этап 4.3.7.2
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 4.3.7.3
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.3.1
Умножим на .
Этап 4.3.7.3.2
Умножим на .
Этап 4.3.7.3.3
Умножим на .
Этап 4.4
Подставим проекцию.
Этап 4.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.5.1
Объединим каждый компонент векторов.
Этап 4.5.2
Вычтем из .
Этап 4.5.3
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.5.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.5.5
Вычтем из .
Этап 4.5.6
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.5.7
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.5.8
Вычтем из .
Этап 5
Найдем ортонормированный базис проекции, разделив ортогональный вектор на его норму.
Этап 6
Найдем единичный вектор , где .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор , разделив его на норму .
Этап 6.2
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 6.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 6.3.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 6.3.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 6.3.4
Добавим и .
Этап 6.3.5
Добавим и .
Этап 6.4
Разделим вектор на его норму.
Этап 6.5
Разделим каждый элемент в векторе на .
Этап 7
Найдем единичный вектор , где .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор , разделив его на норму .
Этап 7.2
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 7.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 7.3.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 7.3.2
Возведем в степень .
Этап 7.3.3
Умножим на .
Этап 7.3.4
Возведем в степень .
Этап 7.3.5
Возведем в степень .
Этап 7.3.6
Применим правило умножения к .
Этап 7.3.7
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7.3.8
Возведем в степень .
Этап 7.3.9
Применим правило умножения к .
Этап 7.3.10
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7.3.11
Возведем в степень .
Этап 7.3.12
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.3.13
Добавим и .
Этап 7.3.14
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.3.15
Добавим и .
Этап 7.3.16
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.16.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.3.16.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.16.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.3.16.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 7.3.16.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 7.3.17
Перепишем в виде .
Этап 7.4
Разделим вектор на его норму.
Этап 7.5
Разделим каждый элемент в векторе на .
Этап 7.6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.6.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 7.6.2
Умножим на .
Этап 7.6.3
Перенесем влево от .
Этап 7.6.4
Перенесем влево от .
Этап 7.6.5
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 7.6.6
Умножим на .
Этап 7.6.7
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 7.6.8
Умножим на .
Этап 8
Подставим известные значения.
Введите СВОЮ задачу
Для Mathway требуются JavaScript и современный браузер.