Линейная алгебра Примеры

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ , $x + y = 2$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x = 2 - y$

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $2 - y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ на $2 - y$ .

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(2 - y)}^{2}$ в виде $(2 - y) (2 - y)$ .

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(2 - y) (2 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Вычтем $2 y$ из $- 2 y$ .

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Умножим $6$ на $4$ .

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.5.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.2

Добавим $6 y^{2}$ и $3 y^{2}$ .

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.2

Вычтем $12$ из $24$ .

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24 y + 9 y^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24 y$ .

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $9 y^{2}$ .

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ .

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ .

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.2

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 u$ .

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.2.2

Запишем $- 8$ как $- 2$ плюс $- 6$

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 2$ .

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.5

Приравняем $3 y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $3 y - 2$ к $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.5.2

Решим $3 y - 2 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 y = 2$

$x = 2 - y$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $3 y = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 y = 2$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Этап 3.6

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

$x = 2 - y$

$y = 2$

$x = 2 - y$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ верно.

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{2}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 2 - y$ на $\frac{2}{3}$ .

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $2 - (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{6 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.1.4.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 2 - y$ на $2$ .

$x = 2 - (2)$

$y = 2$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $2 - (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = 2 - 2$

$y = 2$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

$(0, 2)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

Форма уравнения:

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

$x = 0, y = 2$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу