Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Этап 1

Проверим, является ли функция непрерывной в границах суммирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${k | k \in ℝ}$

Этап 1.2

$f (k)$ — непрерывное выражение в области $[1, \infty)$ .

$Функция является непрерывной.$

Этап 2

Проверим, является ли функция положительной в пределах границ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим неравенство.

$k e^{k^{2}} > 0$

Этап 2.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем $k$ к $0$ .

$k = 0$

Этап 2.2.3

Приравняем $e^{k^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Приравняем $e^{k^{2}}$ к $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Этап 2.2.3.2

Решим $e^{k^{2}} = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Этап 2.2.3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.2.3.2.3

Нет решения для $e^{k^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 2.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $k e^{k^{2}} > 0$ верно.

$k = 0$

Этап 2.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$k > 0$

Этап 3

Определим, где функция уменьшается.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $k e^{k^{2}}$ в виде функции.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Этап 3.2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ имеет вид $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ , где $f (k) = k$ и $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ имеет вид $f' (g (k)) g' (k)$ , где $f (k) = e^{k}$ и $g (k) = k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.4

Возведем $k$ в степень $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.5

Возведем $k$ в степень $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.7.2

Перенесем $2$ влево от $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Этап 3.2.1.9

Умножим $e^{k^{2}}$ на $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Этап 3.2.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Изменим порядок членов.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Этап 3.2.1.10.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Этап 3.2.2

Первая производная $f (k)$ по $k$ равна $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Этап 3.3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $e^{k^{2}}$ из $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $e^{k^{2}}$ из $2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Этап 3.3.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $e^{k^{2}}$ из $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Этап 3.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

Этап 3.3.4

Приравняем $e^{k^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Приравняем $e^{k^{2}}$ к $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Этап 3.3.4.2

Решим $e^{k^{2}} = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Этап 3.3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.3.4.2.3

Нет решения для $e^{k^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 3.3.5

Приравняем $2 k^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $2 k^{2} + 1$ к $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

Этап 3.3.5.2

Решим $2 k^{2} + 1 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 k^{2} = - 1$

Этап 3.3.5.2.2

Разделим каждый член $2 k^{2} = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 k^{2} = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.2.1.2

Разделим $k^{2}$ на $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.3.5.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ верно.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4

В области определения исходной задачи нет значений $k$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 3.5

Нет точек, в которых производная $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ была бы равна $0$ или не определена. $f (k) = k e^{k^{2}}$ проверяется на возрастание или убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 3.6

Подставим любое число, например $1$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в производную $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим в этом выражении переменную $k$ на $1$ .

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.4

Упростим.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 2 e + e$

Этап 3.6.2.1.6

Упростим.

$f' (1) = 2 e + e$

Этап 3.6.2.2

Добавим $2 e$ и $e$ .

$f' (1) = 3 e$

Этап 3.6.2.3

Окончательный ответ: $3 e$ .

$3 e$

Этап 3.7

Результат подстановки $1$ в $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ равен $3 e$ и является положительным, поэтому график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \infty, \infty)$ , так как $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Этап 3.8

Возрастание на интервале $(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно возрастает.

$Всегда возрастающие$

Этап 4

Интегральный критерий неприменим, так как функция не всегда убывает в интервале от $1$ до $\infty$ .

Введите СВОЮ задачу