Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{3} + x + 3$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Этап 2

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Этап 2.1.2.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Добавим $3$ и $1$ .

$f (1) = 4 + 3$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $4$ и $3$ .

$f (1) = 7$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 2.2

Поскольку $7 = 7$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 3

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Этап 4

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 5

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.3

Окончательный ответ: $3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.2.2

Перенесем $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.2.3

Перенесем $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Этап 5.2.4

Перенесем $3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Этап 5.2.5

Перенесем $9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Этап 5.2.6

Изменим порядок $9 h^{2} x$ и $3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Этап 5.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Этап 6

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 7.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Этап 7.1.3

Вычтем $3 x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Этап 7.1.4

Добавим $3 h^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Этап 7.1.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Этап 7.1.6

Добавим $3 h^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Этап 7.1.7

Вычтем $3$ из $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Этап 7.1.8

Добавим $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Этап 7.1.9

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Этап 7.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Этап 7.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Этап 7.1.9.4

Возведем $h$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Этап 7.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 7.1.9.6

Вынесем множитель $h$ из $h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 7.1.9.7

Вынесем множитель $h$ из $h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 7.1.9.8

Вынесем множитель $h$ из $h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Этап 7.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Этап 7.2.2.2

Перенесем $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Этап 7.2.2.3

Изменим порядок $9 x h$ и $9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 9

Найдем предел $9 x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 10

Вынесем член $9 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 12

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Этап 14.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $9 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

Умножим $0$ на $9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Этап 15.1.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Этап 15.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Этап 15.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Этап 15.2

Объединим противоположные члены в $9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Этап 15.2.2

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$9 x^{2} + 1$

Этап 16

Найдем угловой коэффициент $m$ . В этом случае $m = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Избавимся от скобок.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Этап 16.2

Упростим $9 \cdot 1^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Этап 16.2.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$m = 9 + 1$

Этап 16.2.2

Добавим $9$ и $1$ .

$m = 10$

Этап 17

Угловой коэффициент равен $m = 10$ , а точка ― $(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Этап 18

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 18.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (10) \cdot x + b$

Этап 18.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Этап 18.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Этап 18.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Перепишем уравнение в виде $(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Этап 18.5.2

Умножим $10$ на $1$ .

$10 + b = 7$

Этап 18.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.3.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$b = 7 - 10$

Этап 18.5.3.2

Вычтем $10$ из $7$ .

$b = - 3$

Этап 19

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 10 x - 3$

Этап 20

Введите СВОЮ задачу