Математический анализ Примеры

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \sin (y) + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $\sin (y) + x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.3

Производная $\sin (y)$ по $y$ равна $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $\cos (y)$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Этап 2.2

Поскольку $\cos (y)$ является константой относительно $x$ , производная $x \cos (y)$ по $x$ равна $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\cos (y)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\cos (y)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$\cos (y) = \cos (y)$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x \cos (y)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

Этап 5.2

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

Этап 5.3

Упростим.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $x \sin (y) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $\sin (y)$ является константой относительно $x$ , производная $x \sin (y)$ по $x$ равна $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Этап 8.3.3

Умножим $\sin (y)$ на $1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $\sin (y)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $\sin (y) + x - \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $\sin (y)$ из $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Этап 10

Найдем первообразную $x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Этап 10.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

Введите СВОЮ задачу