Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{2} + x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $- 2$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Этап 4.2.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Этап 4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Этап 4.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

Этап 4.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

Этап 4.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

Этап 4.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

Этап 4.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

Этап 4.2.5.2

Добавим $- 8$ и $6$ .

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} + K = 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $\frac{2}{3}$ к обеим частям уравнения.

$K = 2 + \frac{2}{3}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 4.3.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$K = \frac{6 + 2}{3}$

Этап 4.3.5.2

Добавим $6$ и $2$ .

$K = \frac{8}{3}$

Этап 5

Подставим $\frac{8}{3}$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{8}{3}$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

Введите СВОЮ задачу