Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{- 11 x}$ , $(0, 13)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = e^{- 11 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int e^{- 11 x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int e^{- 11 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = - 11 x$ . Тогда $d u = - 11 d x$ , следовательно $- \frac{1}{11} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = - 11 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $- 11 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 11 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 11 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $- 11$ на $1$ .

$- 11$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 11} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{11}) d u$

Этап 2.3.2.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{11}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{11} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{11} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{11}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{11}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{11} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $- 11 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $13$ вместо $y$ в $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ .

$13 = - \frac{1}{11} e^{- 11 \cdot 0} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$ .

$- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 11$ на $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot e^{0} + K = 13$

Этап 4.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{1}{11} \cdot 1 + K = 13$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{11} + K = 13$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $\frac{1}{11}$ к обеим частям уравнения.

$K = 13 + \frac{1}{11}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $13$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$K = 13 \cdot \frac{11}{11} + \frac{1}{11}$

Этап 4.3.3

Объединим $13$ и $\frac{11}{11}$ .

$K = \frac{13 \cdot 11}{11} + \frac{1}{11}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{13 \cdot 11 + 1}{11}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $13$ на $11$ .

$K = \frac{143 + 1}{11}$

Этап 4.3.5.2

Добавим $143$ и $1$ .

$K = \frac{144}{11}$

Этап 5

Подставим $\frac{144}{11}$ вместо $K$ в $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{144}{11}$ вместо $K$ .

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + \frac{144}{11}$

Этап 5.2

Объединим $e^{- 11 x}$ и $\frac{1}{11}$ .

$y = - \frac{e^{- 11 x}}{11} + \frac{144}{11}$

Введите СВОЮ задачу