Математический анализ Примеры Дифференциальные уравнения

Решить дифференциальное уравнение

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $1 - y^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.2.2

Умножим $1 - y^{2}$ на $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.2.3.2

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.6

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Введите СВОЮ задачу