Математический анализ Примеры

$d (q) = 300 - 5 q$ , $s (q) = q^{2}$

Этап 1

Найдем точку равновесия.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем равновесное количество.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем точку равновесия, приравняв функцию предложения к функции спроса.

$300 - 5 q = q^{2}$

Этап 1.1.2

Решим $300 - 5 q = q^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $q^{2}$ из обеих частей уравнения.

$300 - 5 q - q^{2} = 0$

Этап 1.1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $300 - 5 q - q^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1.1

Перенесем $300$ .

$- 5 q - q^{2} + 300 = 0$

Этап 1.1.2.2.1.1.2

Изменим порядок $- 5 q$ и $- q^{2}$ .

$- q^{2} - 5 q + 300 = 0$

Этап 1.1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- q^{2}$ .

$- (q^{2}) - 5 q + 300 = 0$

Этап 1.1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 q$ .

$- (q^{2}) - (5 q) + 300 = 0$

Этап 1.1.2.2.1.4

Перепишем $300$ в виде $- 1 (- 300)$ .

$- (q^{2}) - (5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Этап 1.1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (q^{2}) - (5 q)$ .

$- (q^{2} + 5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Этап 1.1.2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (q^{2} + 5 q) - 1 (- 300)$ .

$- (q^{2} + 5 q - 300) = 0$

Этап 1.1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Разложим $q^{2} + 5 q - 300$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 300$ , а сумма — $5$ .

$- 15, 20$

Этап 1.1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((q - 15) (q + 20)) = 0$

Этап 1.1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

Этап 1.1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$q - 15 = 0$

$q + 20 = 0$

Этап 1.1.2.4

Приравняем $q - 15$ к $0$ , затем решим относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Приравняем $q - 15$ к $0$ .

$q - 15 = 0$

Этап 1.1.2.4.2

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$q = 15$

Этап 1.1.2.5

Приравняем $q + 20$ к $0$ , затем решим относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Приравняем $q + 20$ к $0$ .

$q + 20 = 0$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$q = - 20$

Этап 1.1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (q - 15) (q + 20) = 0$ верно.

$q = 15, - 20$

Этап 1.1.3

Проигнорируем отрицательное решение.

$q = 15$

Этап 1.2

Найдем равновесную цену.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем равновесную цену, подставив равновесное количество $15$ для $q$ в $d (q) = 300 - 5 q$ .

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$

Этап 1.2.2

Упростим $d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $- 5$ на $15$ .

$d \cdot 15 = 300 - 75$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $75$ из $300$ .

$d \cdot 15 = 225$

Этап 1.3

Запишем точку равновесия.

$(15, 225)$

Этап 2

Зададим излишек потребителя $\int_{0}^{q_{eq}} d (q) d q - q_{eq} p_{eq}$ , где $q_{eq}$ — это равновесное количество, а $p_{eq}$ — равновесная цена.

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 15 \cdot 225$

Этап 3

Найдем интеграл и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 15$ на $225$ .

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 3375$

Этап 3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{15} 300 d q + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Этап 3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$300 q]_{0}^{15} + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Этап 3.4

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $q$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$300 q]_{0}^{15} - 5 \int_{0}^{15} q d q - 3375$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $q$ по $q$ имеет вид $\frac{1}{2} q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{1}{2} q^{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $300 q$ в $15$ и в $0$ .

$(300 \cdot 15) - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Этап 3.6.2.2

Найдем значение $\frac{q^{2}}{2}$ в $15$ и в $0$ .

$300 \cdot 15 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Этап 3.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Умножим $300$ на $15$ .

$4500 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.2

Умножим $- 300$ на $0$ .

$4500 + 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.3

Добавим $4500$ и $0$ .

$4500 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.4

Возведем $15$ в степень $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{2}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{1}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - 0) - 3375$

Этап 3.6.2.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} + 0) - 3375$

Этап 3.6.2.3.8

Добавим $\frac{225}{2}$ и $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2}) - 3375$

Этап 3.6.2.3.9

Объединим $- 5$ и $\frac{225}{2}$ .

$4500 + \frac{- 5 \cdot 225}{2} - 3375$

Этап 3.6.2.3.10

Умножим $- 5$ на $225$ .

$4500 + \frac{- 1125}{2} - 3375$

Этап 3.6.2.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4500 - \frac{1125}{2} - 3375$

Этап 3.6.2.3.12

Чтобы записать $4500$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4500 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Этап 3.6.2.3.13

Объединим $4500$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4500 \cdot 2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Этап 3.6.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4500 \cdot 2 - 1125}{2} - 3375$

Этап 3.6.2.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.15.1

Умножим $4500$ на $2$ .

$\frac{9000 - 1125}{2} - 3375$

Этап 3.6.2.3.15.2

Вычтем $1125$ из $9000$ .

$\frac{7875}{2} - 3375$

Этап 3.6.2.3.16

Чтобы записать $- 3375$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} - 3375 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.6.2.3.17

Объединим $- 3375$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} + \frac{- 3375 \cdot 2}{2}$

Этап 3.6.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7875 - 3375 \cdot 2}{2}$

Этап 3.6.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.19.1

Умножим $- 3375$ на $2$ .

$\frac{7875 - 6750}{2}$

Этап 3.6.2.3.19.2

Вычтем $6750$ из $7875$ .

$\frac{1125}{2}$

Этап 3.7

Разделим $1125$ на $2$ .

$562.5$

Введите СВОЮ задачу