Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(5, 7)$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{3} + x + 3$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[5, 7]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ и $3 x]_{5}^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $7$ и в $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ в $7$ и в $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Возведем $7$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.2

Возведем $5$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.4

Вычтем $625$ из $2401$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.5

Сократим общий множитель $1776$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $1776$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.5.2.4

Разделим $444$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.6

Умножим $3$ на $444$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.7

Возведем $7$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.9

Умножим $3$ на $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.10

Чтобы записать $21$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.11

Объединим $21$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.13.1

Умножим $21$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.13.2

Добавим $49$ и $42$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.14

Возведем $5$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $25$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

Этап 12.2.3.16

Умножим $3$ на $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

Этап 12.2.3.17

Чтобы записать $15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 12.2.3.18

Объединим $15$ и $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

Этап 12.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

Этап 12.2.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.20.1

Умножим $15$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

Этап 12.2.3.20.2

Добавим $25$ и $30$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

Этап 12.2.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

Этап 12.2.3.22

Вычтем $55$ из $91$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

Этап 12.2.3.23

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.23.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

Этап 12.2.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

Этап 12.2.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

Этап 12.2.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

Этап 12.2.3.23.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

Этап 12.2.3.24

Добавим $1332$ и $18$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

Этап 13

Вычтем $5$ из $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

Этап 14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $1350$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 675$

Этап 15

Введите СВОЮ задачу