Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{4} - 2 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{4} - 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} - 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 6 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 12 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{4} - 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{3} - 6 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $8 x^{3} - 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $8 x^{3}$ .

$2 x^{2} (4 x) - 6 x^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (- 3)$ .

$2 x^{2} (4 x - 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x - 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x^{2} (4 x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$24 \cdot 0 - 12 \cdot 0$

Этап 9.1.2

Умножим $24$ на $0$ .

$0 - 12 \cdot 0$

Этап 9.1.3

Умножим $- 12$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $8 x^{3} - 6 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 8 \cdot - 8 - 6 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $8$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 64 - 6 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 64 - 6 \cdot 4$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 64 - 24$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $24$ из $- 64$ .

$f' (- 2) = - 88$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 88$ .

$- 88$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $0.38$ , из интервала $(0, \frac{3}{4})$ в первую производную $8 x^{3} - 6 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.38$ .

$f' (0.38) = 8 {(0.38)}^{3} - 6 {(0.38)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $0.38$ в степень $3$ .

$f' (0.38) = 8 \cdot 0.054872 - 6 {(0.38)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $8$ на $0.054872$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 6 {(0.38)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $0.38$ в степень $2$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 6 \cdot 0.1444$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 6$ на $0.1444$ .

$f' (0.38) = 0.438976 - 0.8664$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $0.8664$ из $0.438976$ .

$f' (0.38) = - 0.427424$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 0.427424$ .

$- 0.427424$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{3}{4}, \infty)$ в первую производную $8 x^{3} - 6 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 8 {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (3) = 8 \cdot 27 - 6 {(3)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $8$ на $27$ .

$f' (3) = 216 - 6 {(3)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = 216 - 6 \cdot 9$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 6$ на $9$ .

$f' (3) = 216 - 54$

Этап 10.4.2.2

Вычтем $54$ из $216$ .

$f' (3) = 162$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $162$ .

$162$

Этап 10.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{3}{4}$ , $x = \frac{3}{4}$ — локальный минимум.

$x = \frac{3}{4}$ — локальный минимум

Этап 11

Введите СВОЮ задачу