Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo por $16$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{16 - 4}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $4$ de $16$ .

$\sqrt{12}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 4, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(4, 0)$

Etapa 6.4

O segundo vértice de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (4), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 4, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(2 \sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Etapa 8.3.1.4

Subtraia $4$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Etapa 8.3.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Etapa 8.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10

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