Pré-cálculo Exemplos

$(2, 3)$ , $(- 1, - 5)$

Etapa 1

A equação geral de uma parábola com vértice $(h, k)$ é $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . Neste caso, temos $(2, 3)$ como vértice $(h, k)$ e $(- 1, - 5)$ é um ponto $(x, y)$ na parábola. Para encontrar $a$ , substitua os dois pontos em $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$

Etapa 2

Usando $- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$ para resolver $a$ , $a = - \frac{8}{9}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$ .

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5$

Etapa 2.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5$

Etapa 2.2.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$a \cdot 9 + 3 = - 5$

Etapa 2.2.4

Mova $9$ para a esquerda de $a$ .

$9 a + 3 = - 5$

Etapa 2.3

Mova todos os termos que não contêm $a$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$9 a = - 5 - 3$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3$ de $- 5$ .

$9 a = - 8$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $9 a = - 8$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $9 a = - 8$ por $9$ .

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{- 8}{9}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{8}{9}$

Etapa 3

Usando $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , a equação geral da parábola com o vértice $(2, 3)$ e $a = - \frac{8}{9}$ é $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Etapa 4

Resolva $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ para $y$ .

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Etapa 4.1

Remova os parênteses.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Etapa 4.2

Multiplique $- \frac{8}{9}$ por ${(x - (2))}^{2}$ .

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x - (2))}^{2} + 3$

Etapa 4.3

Remova os parênteses.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Etapa 4.4

Simplifique $(- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

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Etapa 4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Etapa 4.4.1.2

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = - \frac{8}{9} ((x - 2) (x - 2)) + 3$

Etapa 4.4.1.3

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{8}{9} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

Etapa 4.4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

Etapa 4.4.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Etapa 4.4.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.4.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Etapa 4.4.1.4.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Etapa 4.4.1.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

Etapa 4.4.1.4.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

Etapa 4.4.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{8}{9} x^{2} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Etapa 4.4.1.6

Simplifique.

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Etapa 4.4.1.6.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Etapa 4.4.1.6.2

Multiplique $- \frac{8}{9} (- 4 x)$ .

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Etapa 4.4.1.6.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + 4 (\frac{8}{9}) x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Etapa 4.4.1.6.2.2

Combine $4$ e $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{4 \cdot 8}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Etapa 4.4.1.6.2.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Etapa 4.4.1.6.2.4

Combine $\frac{32}{9}$ e $x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Etapa 4.4.1.6.3

Multiplique $- \frac{8}{9} \cdot 4$ .

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Etapa 4.4.1.6.3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - 4 (\frac{8}{9}) + 3$

Etapa 4.4.1.6.3.2

Combine $- 4$ e $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 8}{9} + 3$

Etapa 4.4.1.6.3.3

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Etapa 4.4.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.7.1

Mova $8$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{8 \cdot x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Etapa 4.4.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3$

Etapa 4.4.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 4.4.3

Combine $3$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Etapa 4.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 4.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.5.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 27}{9}$

Etapa 4.4.5.2

Some $- 32$ e $27$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 5}{9}$

Etapa 4.4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{5}{9}$

Etapa 5

A forma padrão e o vértice são os seguintes.

Forma padrão: $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Forma do vértice: $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Etapa 6

Simplifique a forma padrão.

Forma padrão: $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Forma do vértice: $y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Etapa 7

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