Álgebra linear Exemplos

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Etapa 1.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Etapa 1.2.2

Some $1$ e $0$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Etapa 1.2.3

Some $1$ e $3$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Etapa 2

Encontre a norma de $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Etapa 2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Etapa 2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Etapa 2.2.4

Some $1$ e $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $9$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Etapa 3

Encontre a projeção de $b⃗$ em $a⃗$ usando a fórmula de projeção.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Etapa 4

Substitua $4$ por $b⃗ \cdot a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Etapa 5

Substitua $\sqrt{10}$ por $| | a⃗ | |$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Etapa 6

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ por $a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.4.1

Cancele o fator comum.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva a expressão.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.1.5

Avalie o expoente.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $4$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{2}{5}$ por cada elemento da matriz.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Etapa 7.4

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Etapa 7.4.2

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Etapa 7.4.3

Multiplique $\frac{2}{5} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Etapa 7.4.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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