Álgebra linear Exemplos

Encontre uma base ortonormal pelo método de Gram-Schmidt
Etapa 1
Atribua um nome para cada vetor.
Etapa 2
O primeiro vetor ortogonal é o primeiro vetor no conjunto dado de vetores.
Etapa 3
Use a fórmula para encontrar os outros vetores ortogonais.
Etapa 4
Encontre o vetor ortogonal .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Use a fórmula para encontrar .
Etapa 4.2
Substitua por .
Etapa 4.3
Encontre .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1
Encontre o produto escalar.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1.1
O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.
Etapa 4.3.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 4.3.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 4.3.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 4.3.1.2.2
Some e .
Etapa 4.3.1.2.3
Some e .
Etapa 4.3.2
Encontre a norma de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 4.3.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.2.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 4.3.2.2.2
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 4.3.2.2.3
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 4.3.2.2.4
Some e .
Etapa 4.3.2.2.5
Some e .
Etapa 4.3.3
Encontre a projeção de em usando a fórmula de projeção.
Etapa 4.3.4
Substitua por .
Etapa 4.3.5
Substitua por .
Etapa 4.3.6
Substitua por .
Etapa 4.3.7
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.7.1
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.7.1.1
Use para reescrever como .
Etapa 4.3.7.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 4.3.7.1.3
Combine e .
Etapa 4.3.7.1.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.7.1.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 4.3.7.1.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 4.3.7.1.5
Avalie o expoente.
Etapa 4.3.7.2
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 4.3.7.3
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.7.3.1
Multiplique por .
Etapa 4.3.7.3.2
Multiplique por .
Etapa 4.3.7.3.3
Multiplique por .
Etapa 4.4
Substitua a projeção.
Etapa 4.5
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.5.1
Combine cada componente dos vetores.
Etapa 4.5.2
Subtraia de .
Etapa 4.5.3
Escreva como uma fração com um denominador comum.
Etapa 4.5.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 4.5.5
Subtraia de .
Etapa 4.5.6
Escreva como uma fração com um denominador comum.
Etapa 4.5.7
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 4.5.8
Subtraia de .
Etapa 5
Encontre a base ortonormal dividindo cada vetor ortogonal por sua norma.
Etapa 6
Encontre o vetor unitário onde .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor , divida pela norma de .
Etapa 6.2
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 6.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 6.3.2
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 6.3.3
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 6.3.4
Some e .
Etapa 6.3.5
Some e .
Etapa 6.4
Divida o vetor por sua norma.
Etapa 6.5
Divida cada elemento no vetor por .
Etapa 7
Encontre o vetor unitário onde .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor , divida pela norma de .
Etapa 7.2
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 7.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.1
Use a regra da multiplicação de potências para distribuir o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.1.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 7.3.1.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 7.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 7.3.3
Multiplique por .
Etapa 7.3.4
Eleve à potência de .
Etapa 7.3.5
Eleve à potência de .
Etapa 7.3.6
Aplique a regra do produto a .
Etapa 7.3.7
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 7.3.8
Eleve à potência de .
Etapa 7.3.9
Aplique a regra do produto a .
Etapa 7.3.10
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 7.3.11
Eleve à potência de .
Etapa 7.3.12
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 7.3.13
Some e .
Etapa 7.3.14
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 7.3.15
Some e .
Etapa 7.3.16
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.16.1
Fatore de .
Etapa 7.3.16.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.16.2.1
Fatore de .
Etapa 7.3.16.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 7.3.16.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 7.3.17
Reescreva como .
Etapa 7.4
Divida o vetor por sua norma.
Etapa 7.5
Divida cada elemento no vetor por .
Etapa 7.6
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.6.1
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 7.6.2
Multiplique por .
Etapa 7.6.3
Mova para a esquerda de .
Etapa 7.6.4
Mova para a esquerda de .
Etapa 7.6.5
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 7.6.6
Multiplique por .
Etapa 7.6.7
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 7.6.8
Multiplique por .
Etapa 8
Substitua os valores conhecidos.
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