Álgebra linear Exemplos

Encontre uma base ortonormal pelo método de Gram-Schmidt
, ,
Etapa 1
Atribua um nome para cada vetor.
Etapa 2
O primeiro vetor ortogonal é o primeiro vetor no conjunto dado de vetores.
Etapa 3
Use a fórmula para encontrar os outros vetores ortogonais.
Etapa 4
Encontre o vetor ortogonal .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Use a fórmula para encontrar .
Etapa 4.2
Substitua por .
Etapa 4.3
Encontre .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1
Encontre o produto escalar.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1.1
O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.
Etapa 4.3.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 4.3.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 4.3.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 4.3.1.2.2
Some e .
Etapa 4.3.1.2.3
Some e .
Etapa 4.3.2
Encontre a norma de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 4.3.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.2.2.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 4.3.2.2.2
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 4.3.2.2.3
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 4.3.2.2.4
Some e .
Etapa 4.3.2.2.5
Some e .
Etapa 4.3.3
Encontre a projeção de em usando a fórmula de projeção.
Etapa 4.3.4
Substitua por .
Etapa 4.3.5
Substitua por .
Etapa 4.3.6
Substitua por .
Etapa 4.3.7
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.7.1
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.7.1.1
Use para reescrever como .
Etapa 4.3.7.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 4.3.7.1.3
Combine e .
Etapa 4.3.7.1.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.7.1.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 4.3.7.1.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 4.3.7.1.5
Avalie o expoente.
Etapa 4.3.7.2
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 4.3.7.3
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.7.3.1
Multiplique por .
Etapa 4.3.7.3.2
Multiplique por .
Etapa 4.3.7.3.3
Multiplique por .
Etapa 4.4
Substitua a projeção.
Etapa 4.5
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.5.1
Combine cada componente dos vetores.
Etapa 4.5.2
Subtraia de .
Etapa 4.5.3
Escreva como uma fração com um denominador comum.
Etapa 4.5.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 4.5.5
Subtraia de .
Etapa 4.5.6
Escreva como uma fração com um denominador comum.
Etapa 4.5.7
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 4.5.8
Subtraia de .
Etapa 5
Encontre o vetor ortogonal .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Use a fórmula para encontrar .
Etapa 5.2
Substitua por .
Etapa 5.3
Encontre .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1
Encontre o produto escalar.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1.1
O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.
Etapa 5.3.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 5.3.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 5.3.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 5.3.1.2.2
Some e .
Etapa 5.3.1.2.3
Some e .
Etapa 5.3.2
Encontre a norma de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 5.3.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.2.2.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 5.3.2.2.2
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 5.3.2.2.3
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 5.3.2.2.4
Some e .
Etapa 5.3.2.2.5
Some e .
Etapa 5.3.3
Encontre a projeção de em usando a fórmula de projeção.
Etapa 5.3.4
Substitua por .
Etapa 5.3.5
Substitua por .
Etapa 5.3.6
Substitua por .
Etapa 5.3.7
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.7.1
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.7.1.1
Use para reescrever como .
Etapa 5.3.7.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 5.3.7.1.3
Combine e .
Etapa 5.3.7.1.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.7.1.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.3.7.1.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.3.7.1.5
Avalie o expoente.
Etapa 5.3.7.2
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 5.3.7.3
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.7.3.1
Multiplique por .
Etapa 5.3.7.3.2
Multiplique por .
Etapa 5.3.7.3.3
Multiplique por .
Etapa 5.4
Encontre .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1
Encontre o produto escalar.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1.1
O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.
Etapa 5.4.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1.2.1.1
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1.2.1.1.1
Multiplique por .
Etapa 5.4.1.2.1.1.2
Multiplique por .
Etapa 5.4.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 5.4.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 5.4.1.2.2
Some e .
Etapa 5.4.1.2.3
Some e .
Etapa 5.4.2
Encontre a norma de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 5.4.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.1
Use a regra da multiplicação de potências para distribuir o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.1.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 5.4.2.2.1.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 5.4.2.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 5.4.2.2.3
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 5.4.2.2.5
Eleve à potência de .
Etapa 5.4.2.2.6
Aplique a regra do produto a .
Etapa 5.4.2.2.7
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 5.4.2.2.8
Eleve à potência de .
Etapa 5.4.2.2.9
Aplique a regra do produto a .
Etapa 5.4.2.2.10
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 5.4.2.2.11
Eleve à potência de .
Etapa 5.4.2.2.12
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 5.4.2.2.13
Some e .
Etapa 5.4.2.2.14
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 5.4.2.2.15
Some e .
Etapa 5.4.2.2.16
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.16.1
Fatore de .
Etapa 5.4.2.2.16.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.16.2.1
Fatore de .
Etapa 5.4.2.2.16.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 5.4.2.2.16.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 5.4.2.2.17
Reescreva como .
Etapa 5.4.2.2.18
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.2.19
Combine e simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.19.1
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.2.19.2
Eleve à potência de .
Etapa 5.4.2.2.19.3
Eleve à potência de .
Etapa 5.4.2.2.19.4
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 5.4.2.2.19.5
Some e .
Etapa 5.4.2.2.19.6
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.19.6.1
Use para reescrever como .
Etapa 5.4.2.2.19.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 5.4.2.2.19.6.3
Combine e .
Etapa 5.4.2.2.19.6.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.19.6.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.4.2.2.19.6.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.4.2.2.19.6.5
Avalie o expoente.
Etapa 5.4.2.2.20
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.2.20.1
Combine usando a regra do produto para radicais.
Etapa 5.4.2.2.20.2
Multiplique por .
Etapa 5.4.3
Encontre a projeção de em usando a fórmula de projeção.
Etapa 5.4.4
Substitua por .
Etapa 5.4.5
Substitua por .
Etapa 5.4.6
Substitua por .
Etapa 5.4.7
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.1
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.1.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 5.4.7.1.2
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.1.2.1
Use para reescrever como .
Etapa 5.4.7.1.2.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 5.4.7.1.2.3
Combine e .
Etapa 5.4.7.1.2.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.1.2.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.4.7.1.2.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.4.7.1.2.5
Avalie o expoente.
Etapa 5.4.7.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 5.4.7.1.4
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.1.4.1
Fatore de .
Etapa 5.4.7.1.4.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.1.4.2.1
Fatore de .
Etapa 5.4.7.1.4.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 5.4.7.1.4.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 5.4.7.2
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 5.4.7.3
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.4.7.3.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.4.7.4
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 5.4.7.5
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.5.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.5.1.1
Mova o negativo de maior ordem em para o numerador.
Etapa 5.4.7.5.1.2
Fatore de .
Etapa 5.4.7.5.1.3
Cancele o fator comum.
Etapa 5.4.7.5.1.4
Reescreva a expressão.
Etapa 5.4.7.5.2
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 5.4.7.5.3
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.5.3.1
Multiplique por .
Etapa 5.4.7.5.3.2
Multiplique por .
Etapa 5.4.7.5.4
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.7.5.4.1
Multiplique por .
Etapa 5.4.7.5.4.2
Multiplique por .
Etapa 5.5
Substitua as projeções.
Etapa 5.6
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.1
Combine cada componente dos vetores.
Etapa 5.6.2
Combine cada componente dos vetores.
Etapa 5.6.3
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.3.1
Multiplique por .
Etapa 5.6.3.2
Multiplique por .
Etapa 5.6.4
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.4.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 5.6.4.2
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.4.2.1
Some e .
Etapa 5.6.4.2.2
Divida por .
Etapa 5.6.5
Multiplique por .
Etapa 5.6.6
Subtraia de .
Etapa 5.6.7
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 5.6.8
Escreva cada expressão com um denominador comum de , multiplicando cada um por um fator apropriado de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.8.1
Multiplique por .
Etapa 5.6.8.2
Multiplique por .
Etapa 5.6.9
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.9.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 5.6.9.2
Subtraia de .
Etapa 5.6.10
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.10.1
Fatore de .
Etapa 5.6.10.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.10.2.1
Fatore de .
Etapa 5.6.10.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 5.6.10.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 5.6.11
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 5.6.12
Encontre o denominador comum.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.12.1
Escreva como uma fração com denominador .
Etapa 5.6.12.2
Multiplique por .
Etapa 5.6.12.3
Multiplique por .
Etapa 5.6.12.4
Multiplique por .
Etapa 5.6.12.5
Multiplique por .
Etapa 5.6.12.6
Reordene os fatores de .
Etapa 5.6.12.7
Multiplique por .
Etapa 5.6.13
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 5.6.14
Simplifique subtraindo os números.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.14.1
Subtraia de .
Etapa 5.6.14.2
Subtraia de .
Etapa 5.6.15
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.15.1
Fatore de .
Etapa 5.6.15.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.6.15.2.1
Fatore de .
Etapa 5.6.15.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 5.6.15.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 6
Encontre a base ortonormal dividindo cada vetor ortogonal por sua norma.
Etapa 7
Encontre o vetor unitário onde .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor , divida pela norma de .
Etapa 7.2
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 7.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 7.3.2
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 7.3.3
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 7.3.4
Some e .
Etapa 7.3.5
Some e .
Etapa 7.4
Divida o vetor por sua norma.
Etapa 7.5
Divida cada elemento no vetor por .
Etapa 8
Encontre o vetor unitário onde .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1
Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor , divida pela norma de .
Etapa 8.2
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 8.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.1
Use a regra da multiplicação de potências para distribuir o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.1.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 8.3.1.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 8.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 8.3.3
Multiplique por .
Etapa 8.3.4
Eleve à potência de .
Etapa 8.3.5
Eleve à potência de .
Etapa 8.3.6
Aplique a regra do produto a .
Etapa 8.3.7
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 8.3.8
Eleve à potência de .
Etapa 8.3.9
Aplique a regra do produto a .
Etapa 8.3.10
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 8.3.11
Eleve à potência de .
Etapa 8.3.12
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 8.3.13
Some e .
Etapa 8.3.14
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 8.3.15
Some e .
Etapa 8.3.16
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.16.1
Fatore de .
Etapa 8.3.16.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.16.2.1
Fatore de .
Etapa 8.3.16.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 8.3.16.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 8.3.17
Reescreva como .
Etapa 8.4
Divida o vetor por sua norma.
Etapa 8.5
Divida cada elemento no vetor por .
Etapa 8.6
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.6.1
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 8.6.2
Multiplique por .
Etapa 8.6.3
Mova para a esquerda de .
Etapa 8.6.4
Mova para a esquerda de .
Etapa 8.6.5
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 8.6.6
Multiplique por .
Etapa 8.6.7
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 8.6.8
Multiplique por .
Etapa 9
Encontre o vetor unitário onde .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Para encontrar um vetor unitário na mesma direção de um vetor , divida pela norma de .
Etapa 9.2
A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.
Etapa 9.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 9.3.2
Use a regra da multiplicação de potências para distribuir o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.2.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 9.3.2.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 9.3.3
Eleve à potência de .
Etapa 9.3.4
Multiplique por .
Etapa 9.3.5
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 9.3.6
Eleve à potência de .
Etapa 9.3.7
Aplique a regra do produto a .
Etapa 9.3.8
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 9.3.9
Eleve à potência de .
Etapa 9.3.10
Some e .
Etapa 9.3.11
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 9.3.12
Some e .
Etapa 9.3.13
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.13.1
Fatore de .
Etapa 9.3.13.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.13.2.1
Fatore de .
Etapa 9.3.13.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 9.3.13.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 9.3.14
Reescreva como .
Etapa 9.3.15
Qualquer raiz de é .
Etapa 9.4
Divida o vetor por sua norma.
Etapa 9.5
Divida cada elemento no vetor por .
Etapa 9.6
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.6.1
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 9.6.2
Multiplique por .
Etapa 9.6.3
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 9.6.4
Combine e .
Etapa 9.6.5
Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.
Etapa 9.6.6
Combine e .
Etapa 10
Substitua os valores conhecidos.
Insira SEU problema
O Mathway requer o JavaScript e um navegador moderno.