Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

Etapa 1

Defina $f (t, y)$ de forma que $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Etapa 2

Encontre $f (0, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $0$ por $t$ e $1$ por $y$ .

$f (0, 1) = e^{0}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

Etapa 2.2.2

Eleve $2.71828182$ à potência de $0$ .

$f (0, 1) = 1$

Etapa 3

Use a fórmula recursiva $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ para encontrar $y_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua.

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $0.5$ por $1$ .

$y_{1} = 1 + 0.5$

Etapa 3.2.2

Some $1$ e $0.5$ .

$y_{1} = 1.5$

Etapa 4

Use a fórmula recursiva $t_{1} = t_{0} + h$ para encontrar $t_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua.

$t_{1} = 0 + 0.5$

Etapa 4.2

Some $0$ e $0.5$ .

$t_{1} = 0.5$

Etapa 5

Encontre $f (0.5, 1.5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $0.5$ por $t$ e $1.5$ por $y$ .

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

Etapa 5.2.2

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.5$ .

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

Etapa 6

Use a fórmula recursiva $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ para encontrar $y_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua.

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $0.5$ por $1.64872127$ .

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

Etapa 6.2.2

Some $1.5$ e $0.82436063$ .

$y_{2} = 2.32436063$

Etapa 7

Use a fórmula recursiva $t_{2} = t_{1} + h$ para encontrar $t_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua.

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

Etapa 7.2

Some $0.5$ e $0.5$ .

$t_{2} = 1$

Etapa 8

Continue da mesma maneira até que os valores desejados sejam aproximados.

Etapa 9

Liste as aproximações em uma tabela.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

Insira SEU problema