Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = (x^{2} + x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $- 2$ por $x$ e $2$ por $y$ em $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Etapa 4.2.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Etapa 4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

Etapa 4.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

Etapa 4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

Etapa 4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

Etapa 4.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.5.2

Some $- 8$ e $6$ .

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} + K = 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $\frac{2}{3}$ aos dois lados da equação.

$K = 2 + \frac{2}{3}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 4.3.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$K = \frac{6 + 2}{3}$

Etapa 4.3.5.2

Some $6$ e $2$ .

$K = \frac{8}{3}$

Etapa 5

Substitua $\frac{8}{3}$ por $K$ em $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{8}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

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