Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{2}$

Etapa 1

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - V^{2}$

Etapa 2

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 3

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 4

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{2}$

Etapa 5

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V - V^{2} - V$

Etapa 5.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V - V^{2} - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2} + 0$

Etapa 5.1.1.1.2.2

Some $- V^{2}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$

Etapa 5.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Etapa 5.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{x})$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 5.1.3.2

Cancele o fator comum de $V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{V^{2}}$ para o numerador.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 5.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Etapa 5.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Mova $V^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V^{- 2}$ com relação a $V$ é $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva $- V^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 5.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$

Etapa 5.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$V, 1, 1$

Etapa 5.3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$V$

Etapa 5.3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ por $V$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ por $V$ .

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{V}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Etapa 5.3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - \ln (| x |) V + C V$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Reordene os fatores em $- \ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = - V \ln (| x |) + C V$

Etapa 5.3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Reescreva a equação como $- V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$- V \ln (| x |) + C V = - 1$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $V$ de $- V \ln (| x |) + C V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $V$ de $- V \ln (| x |)$ .

$V (- 1 \ln (| x |)) + C V = - 1$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $V$ de $C V$ .

$V (- 1 \ln (| x |)) + V C = - 1$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $V$ de $V (- 1 \ln (| x |)) + V C$ .

$V (- 1 \ln (| x |) + C) = - 1$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $- 1 \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$

Etapa 5.3.3.4

Divida cada termo em $V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ por $- \ln (| x |) + C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Divida cada termo em $V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ por $- \ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 5.3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln (| x |) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 5.3.3.4.2.1.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 5.3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = - \frac{1}{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 5.3.3.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (| x |)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) + C}$

Etapa 5.3.3.4.3.3

Fatore $- 1$ de $C$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) - 1 (- C)}$

Etapa 5.3.3.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (\ln (| x |)) - 1 (- C)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |) - C)}$

Etapa 5.3.3.4.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.3.5.1

Reescreva $- (\ln (| x |) - C)$ como $- 1 (\ln (| x |) - C)$ .

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| x |) - C)}$

Etapa 5.3.3.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = - - \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Etapa 5.3.3.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Etapa 5.3.3.4.3.5.4

Multiplique $\frac{1}{\ln (| x |) - C}$ por $1$ .

$V = \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Etapa 5.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 6

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 7

Resolva $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Combine $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{\ln (| x |) + C}$

Insira SEU problema