微分積分学準備例

${(x - 1)}^{3}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- 1)}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- 1)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- 1)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- 1)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- 1)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 1)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

${(x)}^{3} \cdot {(- 1)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 1)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 1)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 1)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.4

指数を求めます。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 1)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 1)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.6

簡約します。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 \cdot x \cdot {(- 1)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.8

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.9

${(x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(x)}^{0} \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.10

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1 \cdot {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.11

${(- 1)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

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