Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

Passaggio 2.2.2

Somma $x$ e $x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

Passaggio 2.3

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 6.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Passaggio 6.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ e $e^{x}$ .

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Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $\frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{2} e^{x}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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