Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $1 - y^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $1 - y^{2}$ per $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 1.2.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.6

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

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