Calcolo Esempi

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

Passaggio 1

Verifica che la soluzione data soddisfi l'equazione differenziale.

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Passaggio 1.1

Trova $y'$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.3.4.1

Riordina i fattori di $2 c e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} c$

Passaggio 1.1.3.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{2 x} c$ .

$2 c e^{2 x}$

Passaggio 1.1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 c e^{2 x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Passaggio 1.4

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = c e^{2 x}$ è una soluzione a $y' = 2 y$

Passaggio 2

Sostituisci la condizione iniziale.

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Passaggio 3

Risolvi per $c$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Passaggio 3.2

Semplifica $c e^{2 \cdot 0}$ .

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$c e^{0} = 3$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$c \cdot 1 = 3$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $c$ per $1$ .

$c = 3$

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