कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{\ln (x)}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

चरण 2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\ln (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\ln (x)})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

चरण 2.2

$\ln (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

चरण 2.3

$\ln (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

चरण 2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

चरण 2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln^{2} (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

चरण 3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\ln (x)$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

चरण 3.2.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\frac{1}{x}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

चरण 3.2.4.2

$\frac{2}{x}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

चरण 3.2.5

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x)$ को सरल करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ और $x^{\ln (x)}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.2

$x^{\ln (x)}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

चरण 5.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

चरण 5.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

चरण 5.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

चरण 5.2.2.5

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

चरण 5.3

गुणनखंडों को $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

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