Trigonométrie Exemples

$\sin (x)$ , $\tan (x) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (x) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Hypoténuse $= \sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{1 + 4}$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $4$ .

Hypoténuse $= \sqrt{5}$

Étape 5

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 6

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 7.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.2.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.2.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 7.2.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 7.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 7.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Forme décimale :

$\sin (x) = 0.44721359 \dots$

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