Exemples

Déterminer une base orthonormale avec la méthode Gram-Schmidt
Étape 1
Attribuez un nom pour chaque vecteur.
Étape 2
Le premier vecteur orthogonal est le premier vecteur dans l’ensemble de vecteurs indiqué.
Étape 3
Utilisez la formule pour déterminer les autres vecteurs orthogonaux.
Étape 4
Déterminez le vecteur orthogonal .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Utilisez la formule pour déterminer .
Étape 4.2
Remplacez par .
Étape 4.3
Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Déterminez le produit scalaire.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1.1
Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.
Étape 4.3.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 4.3.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 4.3.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 4.3.1.2.2
Additionnez et .
Étape 4.3.1.2.3
Additionnez et .
Étape 4.3.2
Déterminez la norme de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 4.3.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 4.3.2.2.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 4.3.2.2.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 4.3.2.2.4
Additionnez et .
Étape 4.3.2.2.5
Additionnez et .
Étape 4.3.3
Déterminez la projection de sur à l’aide de la formule de projection.
Étape 4.3.4
Remplacez par .
Étape 4.3.5
Remplacez par .
Étape 4.3.6
Remplacez par .
Étape 4.3.7
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.7.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.7.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.3.7.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.3.7.1.3
Associez et .
Étape 4.3.7.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.7.1.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.7.1.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.7.1.5
Évaluez l’exposant.
Étape 4.3.7.2
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.3.7.3
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.7.3.1
Multipliez par .
Étape 4.3.7.3.2
Multipliez par .
Étape 4.3.7.3.3
Multipliez par .
Étape 4.4
Remplacez la projection.
Étape 4.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.5.1
Associez chaque composant des vecteurs.
Étape 4.5.2
Soustrayez de .
Étape 4.5.3
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 4.5.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.5.5
Soustrayez de .
Étape 4.5.6
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 4.5.7
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.5.8
Soustrayez de .
Étape 5
Déterminez la base orthonormale en divisant chaque vecteur orthogonal par sa norme.
Étape 6
Déterminez le vecteur unitaire .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur , divisez par la norme de .
Étape 6.2
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 6.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 6.3.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 6.3.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 6.3.4
Additionnez et .
Étape 6.3.5
Additionnez et .
Étape 6.4
Divisez le vecteur par sa norme.
Étape 6.5
Divisez chaque élément du vecteur par .
Étape 7
Déterminez le vecteur unitaire .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur , divisez par la norme de .
Étape 7.2
La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.
Étape 7.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 7.3.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 7.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 7.3.3
Multipliez par .
Étape 7.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 7.3.5
Élevez à la puissance .
Étape 7.3.6
Appliquez la règle de produit à .
Étape 7.3.7
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 7.3.8
Élevez à la puissance .
Étape 7.3.9
Appliquez la règle de produit à .
Étape 7.3.10
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 7.3.11
Élevez à la puissance .
Étape 7.3.12
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 7.3.13
Additionnez et .
Étape 7.3.14
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 7.3.15
Additionnez et .
Étape 7.3.16
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.16.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.3.16.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.3.16.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.3.16.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 7.3.16.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 7.3.17
Réécrivez comme .
Étape 7.4
Divisez le vecteur par sa norme.
Étape 7.5
Divisez chaque élément du vecteur par .
Étape 7.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.6.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 7.6.2
Multipliez par .
Étape 7.6.3
Déplacez à gauche de .
Étape 7.6.4
Déplacez à gauche de .
Étape 7.6.5
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 7.6.6
Multipliez par .
Étape 7.6.7
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 7.6.8
Multipliez par .
Étape 8
Remplacez les valeurs connues.
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