Pré-calcul Exemples Fonctions polynomiales et rationnelles

Simplifier

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 6$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Étape 2.3

Associez $- 1$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Étape 2.5.3

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 4

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 6$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 6$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{x + 6}{x}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 6}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $1.25$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $5$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 6 < x < 0$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 6 < x < 0$

Notation d’intervalle :

$(- 6, 0)$

Étape 12

Saisissez VOTRE problème