Pré-calcul Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{2} - 5}{x - 5}$ quand $x = 5$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$5$	$3$	$0$	$- 5$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$5$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(15)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$
	$3$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$
	$3$	$15$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(15)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(75)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$	$75$
	$3$	$15$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$	$75$
	$3$	$15$	$70$

Étape 2.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(3) x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Étape 2.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Étape 3

Comme $5 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $5$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $5$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{2} - 5}{x + 5}$ quand $x = - 5$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(- 15)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$
	$3$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$
	$3$	$- 15$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 15)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(75)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$	$75$
	$3$	$- 15$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$	$75$
	$3$	$- 15$	$70$

Étape 4.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(3) x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Étape 4.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Étape 5

Comme $- 5 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 5$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 5$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{2} - 5}{x - \frac{5}{3}}$ quand $x = \frac{5}{3}$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(\frac{5}{3})$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$
	$3$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$
	$3$	$5$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(\frac{5}{3})$ et placez le résultat de $(\frac{25}{3})$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$5$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$5$	$\frac{10}{3}$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(3) x + 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x - \frac{5}{3}}$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}$

Étape 7

Comme $\frac{5}{3} > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $\frac{5}{3}$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $\frac{5}{3}$

Étape 8

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{2} - 5}{x + \frac{5}{3}}$ quand $x = - \frac{5}{3}$ .

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Étape 8.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

Étape 8.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Étape 8.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- \frac{5}{3})$ et placez le résultat de $(- 5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$
	$3$

Étape 8.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$
	$3$	$- 5$

Étape 8.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 5)$ par le diviseur $(- \frac{5}{3})$ et placez le résultat de $(\frac{25}{3})$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$- 5$

Étape 8.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$- 5$	$\frac{10}{3}$

Étape 8.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(3) x - 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x + \frac{5}{3}}$

Étape 8.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}$

Étape 9

Comme $- \frac{5}{3} < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- \frac{5}{3}$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- \frac{5}{3}$

Étape 10

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $5, \frac{5}{3}$

Bornes inférieures : $- 5, - \frac{5}{3}$

Étape 11

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