Introduction à l'analyse Exemples

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Factoriser $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, alors tous ses zéros rationnels auront la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient dominant.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4 q = \pm 1$

Trouver toutes les combinaisons de $\pm \frac{p}{q}$ . Ce sont les racines de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Remplacer $2$ et simplifier l'expression. Dans notre cas, l'expression est égale à $2$ donc $0$ est une racine du polynôme.

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Remplacer $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Élever $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Élever $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Multiplier $- 6$ par $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Soustraire $24$ de $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Multiplier $12$ par $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Ajouter $- 16$ et $24$ .

$8 - 8$

Soustraire $8$ de $8$ .

$0$

Comme $2$ est une racine connue, diviser le polynôme par $x - 2$ pour trouver le polynôme quotient. Ce polynôme peut ensuite être utilisé pour trouver les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Diviser $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ par $x - 2$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

Écrire $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)$

Factoriser à l’aide de la formule du binôme.

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Réécrire $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})$

Vérifier le terme du milieu en multipliant $2 a b$ et comparer ce résultat avec le terme du milieu dans l'expression initiale.

$2 a b = 2 \cdot x \cdot - 2$

Simplifier.

$2 a b = - 4 x$

Factoriser à l'aide de la règle du trinôme carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = - 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

Combiner les facteurs similaires.

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Élever $x - 2$ à la puissance $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}$

Utiliser la règle de la puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour combiner les exposants.

${(x - 2)}^{1 + 2}$

Ajouter $1$ et $2$ .

${(x - 2)}^{3}$

Comme le polynôme peut être factorisé, il n'est pas premier.

Non premier

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