Introduction à l'analyse Exemples

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$

Factoriser $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, alors tous ses zéros rationnels auront la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient dominant.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9 q = \pm 1$

Trouver toutes les combinaisons de $\pm \frac{p}{q}$ . Ce sont les racines de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9$

Remplacer $3$ et simplifier l'expression. Dans notre cas, l'expression est égale à $3$ donc $0$ est une racine du polynôme.

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Remplacer $3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

Simplifier chaque terme.

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Élever $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

Élever $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9$

Multiplier $- 6$ par $9$ .

$27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9$

Multiplier $12$ par $3$ .

$27 - 54 + 36 - 9$

Soustraire $54$ de $27$ .

$- 27 + 36 - 9$

Ajouter $- 27$ et $36$ .

$9 - 9$

Soustraire $9$ de $9$ .

$0$

Comme $3$ est une racine connue, diviser le polynôme par $x - 3$ pour trouver le polynôme quotient. Ce polynôme peut ensuite être utilisé pour trouver les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}$

Diviser $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ par $x - 3$ .

$x^{2} - 3 x + 3$

Écrire $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

Comme le polynôme peut être factorisé, il n'est pas premier.

Non premier

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