Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

Étape 1

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est $0$ .

Étape 2

Évaluez le produit scalaire de $[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ et $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 0 - 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - 1$

Étape 2.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 3

Évaluez le produit scalaire de $[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ et $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Étape 3.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $0 (- \sqrt{2})$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 0 - 1$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - 1$

Étape 3.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 4

Évaluez le produit scalaire de $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ et $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Étape 4.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 - 2 + 1$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 + 1$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 5

Les vecteurs sont orthogonaux car les produits scalaires sont tous $0$ .

Orthogonal

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