Algèbre linéaire Exemples

$A = [\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} x & 3 y & z \end{array}]$

Étape 1

Écrivez comme un système linéaire d’équations.

$3 = x$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Étape 2

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.1

Déplacez les variables du côté gauche et les termes constants du côté droit.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$3 - x = 0$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Étape 2.1.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Étape 2.1.3

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

$1 - 3 y = 0$

$2 = z$

Étape 2.1.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$2 = z$

Étape 2.1.5

Soustrayez $z$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$2 - z = 0$

Étape 2.1.6

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$- z = - 2$

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$- z = - 2$

Étape 2.2

Écrivez le système comme une matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 2.3.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 2.3.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.3.3

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 2.4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x = 3$

$y = \frac{1}{3}$

$z = 2$

Étape 2.5

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]$

Étape 2.6

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${[\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]}$

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