Algèbre linéaire Exemples

Déterminer les vecteurs propres/l’espace propre
Étape 1
Déterminez les valeurs propres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 1.3
Remplacez les valeurs connues dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par .
Étape 1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.5
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.9
Multipliez par .
Étape 1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 1.4.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.1
Additionnez et .
Étape 1.4.3.2
Additionnez et .
Étape 1.4.3.3
Additionnez et .
Étape 1.4.3.4
Additionnez et .
Étape 1.4.3.5
Additionnez et .
Étape 1.4.3.6
Additionnez et .
Étape 1.4.3.7
Soustrayez de .
Étape 1.5
Find the determinant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.9
Add the terms together.
Étape 1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 1.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.4.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.5.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.1
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.1.1
Additionnez et .
Étape 1.5.5.1.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.3.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.3.1.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.3.1.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.3.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.5.3.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.5.3.1.3
Additionnez et .
Étape 1.5.5.3.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.5.3.3
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.1.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.4.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2
Multipliez par .
Étape 1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 1.7
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.2
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.7.1.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.7.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.7.3
Définissez égal à .
Étape 1.7.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Étape 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 3.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 3.2.2.2
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.2.1
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.3
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.4
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.5
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.6
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.7
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.8
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.9
Additionnez et .
Étape 3.3
Find the null space when .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 3.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 3.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 3.3.2.4.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 3.3.6
Write as a solution set.
Étape 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 4.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.2.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.3.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.2
Additionnez et .
Étape 4.2.3.3
Additionnez et .
Étape 4.2.3.4
Additionnez et .
Étape 4.2.3.5
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.6
Additionnez et .
Étape 4.2.3.7
Additionnez et .
Étape 4.2.3.8
Additionnez et .
Étape 4.2.3.9
Soustrayez de .
Étape 4.3
Find the null space when .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.4
Swap with to put a nonzero entry at .
Étape 4.3.2.5
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.5.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 4.3.6
Write as a solution set.
Étape 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 5
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 5.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 5.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 5.2.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.3.1
Additionnez et .
Étape 5.2.3.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3.3
Additionnez et .
Étape 5.2.3.4
Additionnez et .
Étape 5.2.3.5
Additionnez et .
Étape 5.2.3.6
Additionnez et .
Étape 5.2.3.7
Additionnez et .
Étape 5.2.3.8
Additionnez et .
Étape 5.2.3.9
Additionnez et .
Étape 5.3
Find the null space when .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 5.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 5.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.4
Swap with to put a nonzero entry at .
Étape 5.3.2.5
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.5.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 5.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 5.3.6
Write as a solution set.
Étape 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.
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