Algèbre linéaire Exemples

$B = [\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplifiez chaque élément.

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Étape 4.3.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Étape 5

Déterminez le déterminant.

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Étape 5.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne $2$ par son cofacteur et additionnez.

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Étape 5.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 5.1.3

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

Le mineur pour $a_{22}$ est le déterminant dont la ligne $2$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multipliez l’élément $a_{22}$ par son cofacteur.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

Le mineur pour $a_{32}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multipliez l’élément $a_{32}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $- 1 - λ$ par $1$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Développez $(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1 (- λ)$ .

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Étape 5.4.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.2.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $- λ \cdot - 1$ .

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Étape 5.4.2.1.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.3.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.2

Additionnez $λ$ et $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 5.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Étape 5.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

Étape 5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $2 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Additionnez $- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ et $0$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Étape 5.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Étape 5.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Étape 5.5.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Étape 5.5.2.4

Développez $(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.5.1

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.2

Multipliez $2 λ$ par $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.4

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.2.5.4.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.4.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.2.5.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.6

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.2.5.6.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.6.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Étape 5.5.2.5.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

Étape 5.5.2.6

Soustrayez $2 λ^{2}$ de $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Étape 5.5.2.7

Soustrayez $4 λ$ de $2 λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

Étape 5.5.3

Associez les termes opposés dans $4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ .

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Étape 5.5.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

Étape 5.5.3.2

Additionnez $4 λ - λ^{2} - 2 λ$ et $0$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

Étape 5.5.4

Soustrayez $2 λ$ de $4 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

Étape 5.5.5

Déplacez $2 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

Étape 5.5.6

Remettez dans l’ordre $- λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $- λ$ à partir de $2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.1.4

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ .

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Étape 7.1.1.5

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ .

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $λ^{2} + λ - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 7.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ$ égal à $0$ .

$λ = 0$

Étape 7.4

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $λ - 1$ égal à $0$ .

$λ - 1 = 0$

Étape 7.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 1$

Étape 7.5

Définissez $λ + 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $λ + 2$ égal à $0$ .

$λ + 2 = 0$

Étape 7.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 2$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ vraie.

$λ = 0, 1, - 2$

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