Ensembles finis Exemples

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Étape 1

Définissez $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ égal à $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Étape 2.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Étape 2.1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x^{2} + 27 x$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

Étape 2.1.5.2

Factorisez $9 x$ à partir de $27 x$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

Étape 2.1.5.3

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x (x) + 9 x (3)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ .

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $9 x (x + 3)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

Étape 2.1.6.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

Étape 2.1.7

Additionnez $- 3 x$ et $9 x$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.8.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 2.1.8.3

Réécrivez le polynôme.

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = - 3$ (Multiplicité de $3$ )

Étape 3

Saisissez VOTRE problème